Calcolo Esempi

$f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ , $[0, 1]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f (x)$ è continua su $[0, 1]$ o no, calcola il dominio di $f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta il denominatore in $\frac{4}{x - 2}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 2}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 2}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[0, 1]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} - \frac{4}{x - 2} d x)$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- \int_{0}^{1} \frac{4}{x - 2} d x)$

Passaggio 6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- (4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x))$

Passaggio 7

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x)$

Passaggio 8

Sia $u = x - 2$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 8.1

Sia $u = x - 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 8.1.1

Differenzia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 8.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 8.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 0 - 2$

Passaggio 8.3

Sottrai $2$ da $0$ .

$u_{lower} = - 2$

Passaggio 8.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 1 - 2$

Passaggio 8.5

Sottrai $2$ da $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 8.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 8.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}))$

Passaggio 10

Calcola $\ln (| u |)$ per $- 1$ e per $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |)))$

Passaggio 11

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |}))$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 1$ e $0$ è $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{| - 2 |}))$

Passaggio 12.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 2$ e $0$ è $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Passaggio 13

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 13.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Passaggio 13.2

Somma $1$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Passaggio 14

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 14.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 14.1.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Passaggio 14.1.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = 1 \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Passaggio 14.2

Moltiplica $- 4 \ln (\frac{1}{2})$ per $1$ .

$A (x) = - 4 \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 15

Semplifica $- 4 \ln (\frac{1}{2})$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$A (x) = - \ln ({(\frac{1}{2})}^{4})$

Passaggio 16

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = - \ln (\frac{1^{4}}{2^{4}})$

Passaggio 17

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$A (x) = - \ln (\frac{1}{2^{4}})$

Passaggio 18

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$A (x) = - \ln (\frac{1}{16})$

Passaggio 19