Calcolo Esempi

Trovare il Valore Medio della Funzione f(x)=-4/(x-2) , [0,1]
f(x)=-4x-2f(x)=4x2 , [0,1][0,1]
Passaggio 1
Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso [a,b][a,b]. Per scoprire se f(x)f(x) è continua su [0,1][0,1] o no, calcola il dominio di f(x)=-4x-2f(x)=4x2.
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Passaggio 1.1
Imposta il denominatore in 4x-24x2 in modo che sia uguale a 00 per individuare dove l'espressione è indefinita.
x-2=0x2=0
Passaggio 1.2
Somma 22 a entrambi i lati dell'equazione.
x=2x=2
Passaggio 1.3
Il dominio è formato da tutti i valori di xx che rendono definita l'espressione.
Notazione degli intervalli:
(-,2)(2,)(,2)(2,)
Notazione intensiva:
{x|x2}{x|x2}
Notazione degli intervalli:
(-,2)(2,)(,2)(2,)
Notazione intensiva:
{x|x2}{x|x2}
Passaggio 2
f(x)f(x) è continua su [0,1][0,1].
f(x)f(x) è continua
Passaggio 3
Il valore medio della funzione ff rispetto all'intervallo [a,b][a,b] è definito come A(x)=1b-abaf(x)dxA(x)=1babaf(x)dx.
A(x)=1b-abaf(x)dxA(x)=1babaf(x)dx
Passaggio 4
Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.
A(x)=11-0(10-4x-2dx)A(x)=110(104x2dx)
Passaggio 5
Poiché -11 è costante rispetto a xx, sposta -11 fuori dall'integrale.
A(x)=11-0(-104x-2dx)A(x)=110(104x2dx)
Passaggio 6
Poiché 44 è costante rispetto a xx, sposta 44 fuori dall'integrale.
A(x)=11-0(-(4101x-2dx))A(x)=110((4101x2dx))
Passaggio 7
Moltiplica 44 per -11.
A(x)=11-0(-4101x-2dx)A(x)=110(4101x2dx)
Passaggio 8
Sia u=x-2. Allora du=dx. Riscrivi usando u e du.
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Passaggio 8.1
Sia u=x-2. Trova dudx.
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Passaggio 8.1.1
Differenzia x-2.
ddx[x-2]
Passaggio 8.1.2
Secondo la regola della somma, la derivata di x-2 rispetto a x è ddx[x]+ddx[-2].
ddx[x]+ddx[-2]
Passaggio 8.1.3
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui ddx[xn] è nxn-1 dove n=1.
1+ddx[-2]
Passaggio 8.1.4
Poiché -2 è costante rispetto a x, la derivata di -2 rispetto a x è 0.
1+0
Passaggio 8.1.5
Somma 1 e 0.
1
1
Passaggio 8.2
Sostituisci il limite inferiore a x in u=x-2.
ulower=0-2
Passaggio 8.3
Sottrai 2 da 0.
ulower=-2
Passaggio 8.4
Sostituisci il limite superiore a x in u=x-2.
uupper=1-2
Passaggio 8.5
Sottrai 2 da 1.
uupper=-1
Passaggio 8.6
I valori trovati per ulower e uupper saranno usati per calcolare l'integrale definito.
ulower=-2
uupper=-1
Passaggio 8.7
Riscrivi il problema usando u, du e i nuovi limiti dell'integrazione.
A(x)=11-0(-4-1-21udu)
A(x)=11-0(-4-1-21udu)
Passaggio 9
L'integrale di 1u rispetto a u è ln(|u|).
A(x)=11-0(-4(ln(|u|)]-1-2))
Passaggio 10
Calcola ln(|u|) per -1 e per -2.
A(x)=11-0(-4(ln(|-1|)-ln(|-2|)))
Passaggio 11
Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, logb(x)-logb(y)=logb(xy).
A(x)=11-0(-4ln(|-1||-2|))
Passaggio 12
Semplifica.
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Passaggio 12.1
Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra -1 e 0 è 1.
A(x)=11-0(-4ln(1|-2|))
Passaggio 12.2
Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra -2 e 0 è 2.
A(x)=11-0(-4ln(12))
A(x)=11-0(-4ln(12))
Passaggio 13
Semplifica il denominatore.
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Passaggio 13.1
Moltiplica -1 per 0.
A(x)=11+0(-4ln(12))
Passaggio 13.2
Somma 1 e 0.
A(x)=11(-4ln(12))
A(x)=11(-4ln(12))
Passaggio 14
Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.
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Passaggio 14.1
Elimina il fattore comune di 1.
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Passaggio 14.1.1
Elimina il fattore comune.
A(x)=11(-4ln(12))
Passaggio 14.1.2
Riscrivi l'espressione.
A(x)=1(-4ln(12))
A(x)=1(-4ln(12))
Passaggio 14.2
Moltiplica -4ln(12) per 1.
A(x)=-4ln(12)
A(x)=-4ln(12)
Passaggio 15
Semplifica -4ln(12) spostando 4 all'interno del logaritmo.
A(x)=-ln((12)4)
Passaggio 16
Applica la regola del prodotto a 12.
A(x)=-ln(1424)
Passaggio 17
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
A(x)=-ln(124)
Passaggio 18
Eleva 2 alla potenza di 4.
A(x)=-ln(116)
Passaggio 19
 [x2  12  π  xdx ]