Calcolo Esempi

f (x) = - \frac{4}{x - 2}

$f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ ,

[0, 1]

$[0, 1]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso

[a, b]

$[a, b]$ . Per scoprire se

f (x)

$f (x)$ è continua su

[0, 1]

$[0, 1]$ o no, calcola il dominio di

f (x) = - \frac{4}{x - 2}

$f (x) = - \frac{4}{x - 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta il denominatore in

\frac{4}{x - 2}

$\frac{4}{x - 2}$ in modo che sia uguale a

0

$0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

x - 2 = 0

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2

Somma

2

$2$ a entrambi i lati dell'equazione.

x = 2

$x = 2$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di

x

$x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

(- \infty, 2) \cup (2, \infty)

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notazione intensiva:

{x | x \neq 2}

${x | x \neq 2}$

Notazione degli intervalli:

(- \infty, 2) \cup (2, \infty)

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notazione intensiva:

{x | x \neq 2}

${x | x \neq 2}$

Passaggio 2

f (x)

$f (x)$ è continua su

[0, 1]

$[0, 1]$ .

f (x)

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione

f

$f$ rispetto all'intervallo

[a, b]

$[a, b]$ è definito come

A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} - \frac{4}{x - 2} d x)

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} - \frac{4}{x - 2} d x)$

Passaggio 5

Poiché

- 1

$- 1$ è costante rispetto a

x

$x$ , sposta

- 1

$- 1$ fuori dall'integrale.

A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- \int_{0}^{1} \frac{4}{x - 2} d x)

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- \int_{0}^{1} \frac{4}{x - 2} d x)$

Passaggio 6

Poiché

4

$4$ è costante rispetto a

x

$x$ , sposta

4

$4$ fuori dall'integrale.

A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- (4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x))

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- (4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x))$

Passaggio 7

Moltiplica

4

$4$ per

- 1

$- 1$ .

A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x)

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x)$

Passaggio 8

Sia

u = x - 2

$u = x - 2$ . Allora

d u = d x

$d u = d x$ . Riscrivi usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia

u = x - 2

$u = x - 2$ . Trova

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia

x - 2

$x - 2$ .

\frac{d}{d x} [x - 2]

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

x - 2

$x - 2$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

1 + \frac{d}{d x} [- 2]

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 8.1.4

Poiché

- 2

$- 2$ è costante rispetto a

x

$x$ , la derivata di

- 2

$- 2$ rispetto a

x

$x$ è

0

$0$ .

1 + 0

$1 + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma

1

$1$ e

0

$0$ .

1

$1$

1

$1$

Passaggio 8.2

Sostituisci il limite inferiore a

x

$x$ in

u = x - 2

$u = x - 2$ .

u_{lower} = 0 - 2

$u_{lower} = 0 - 2$

Passaggio 8.3

Sottrai

2

$2$ da

0

$0$ .

u_{lower} = - 2

$u_{lower} = - 2$

Passaggio 8.4

Sostituisci il limite superiore a

x

$x$ in

u = x - 2

$u = x - 2$ .

u_{upper} = 1 - 2

$u_{upper} = 1 - 2$

Passaggio 8.5

Sottrai

2

$2$ da

1

$1$ .

u_{upper} = - 1

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 8.6

I valori trovati per

u_{lower}

$u_{lower}$ e

u_{upper}

$u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

u_{lower} = - 2

$u_{lower} = - 2$

u_{upper} = - 1

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 8.7

Riscrivi il problema usando

u

$u$ ,

d u

$d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u)

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u)$

A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u)

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 9

L'integrale di

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ rispetto a

u

$u$ è

ln (| u |)

$\ln (| u |)$ .

A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}))

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}))$

Passaggio 10

Calcola

ln (| u |)

$\ln (| u |)$ per

- 1

$- 1$ e per

- 2

$- 2$ .

A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (ln (| - 1 |) - ln (| - 2 |)))

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |)))$

Passaggio 11

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi,

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |}))

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |}))$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

- 1

$- 1$ e

0

$0$ è

1

$1$ .

A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 ln (\frac{1}{| - 2 |}))

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{| - 2 |}))$

Passaggio 12.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

- 2

$- 2$ e

0

$0$ è

2

$2$ .

A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 ln (\frac{1}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 ln (\frac{1}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Passaggio 13

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

0

$0$ .

A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot (- 4 ln (\frac{1}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Passaggio 13.2

Somma

1

$1$ e

0

$0$ .

A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 ln (\frac{1}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 ln (\frac{1}{2}))

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Passaggio 14

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Elimina il fattore comune di

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Passaggio 14.1.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = 1 \cdot (- 4 \ln (\frac{1}{2}))$

Passaggio 14.2

Moltiplica

$- 4 \ln (\frac{1}{2})$ per

$1$ .

$A (x) = - 4 \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 15

Semplifica

$- 4 \ln (\frac{1}{2})$ spostando

$4$ all'interno del logaritmo.

$A (x) = - \ln ({(\frac{1}{2})}^{4})$

Passaggio 16

Applica la regola del prodotto a

$\frac{1}{2}$ .

$A (x) = - \ln (\frac{1^{4}}{2^{4}})$

Passaggio 17

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$A (x) = - \ln (\frac{1}{2^{4}})$

Passaggio 18

Eleva

$2$ alla potenza di

$4$ .

$A (x) = - \ln (\frac{1}{16})$

Passaggio 19