Calcolo Esempi

$x + \sqrt{7 x - 3}$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \sqrt{7 x - 3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{7 x - 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{7 x - 3}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{7 x - 3}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{7 x - 3}]$ .

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7 x - 3}$ come ${(7 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(7 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 7 x - 3$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $7 x - 3$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x - 3]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x - 3]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 x - 3$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x - 3]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.4

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.6

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (7 \cdot 1 + 0)$

Passaggio 2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

Passaggio 2.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

Passaggio 2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

Passaggio 2.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

Passaggio 2.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

Passaggio 2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (7 \cdot 1 + 0)$

Passaggio 2.12

Moltiplica $7$ per $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} (7 + 0)$

Passaggio 2.13

Somma $7$ e $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 7$

Passaggio 2.14

$\frac{1}{2}$ e ${(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 7$

Passaggio 2.15

$\frac{{(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $7$ .

$1 + \frac{{(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 7}{2}$

Passaggio 2.16

Sposta $7$ alla sinistra di ${(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{7 \cdot {(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.17

Sposta ${(7 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{7}{2 {(7 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$