Calcolo Esempi

$\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Passaggio 4

Sia $u = 2 x + 1$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = 2 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{3}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Passaggio 5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u^{3}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 7

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.1

Sposta $u^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Passaggio 7.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 3} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 3}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ come $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Passaggio 9.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 (2 u^{2})} + C$

Passaggio 9.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{1}{4 u^{2}} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 1$ .

$- \frac{1}{4 {(2 x + 1)}^{2}} + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{4 {(2 x + 1)}^{2}} + C$