Calcolo Esempi

$\int (5 e^{2 x} + \frac{1}{x}) d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int 5 e^{2 x} + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 5 e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$5 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$5 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 7

$\frac{1}{2}$ e $5$ .

$\frac{5}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 8

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + \ln (| x |) + C$

Passaggio 10

Semplifica.

$\frac{5}{2} e^{u} + \ln (| x |) + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{5}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C$