Calcolo Esempi

$y = x e^{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$x e^{x} + e^{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x e^{x} + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Somma $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 2.4.2

Riordina i termini.

$f'' (x) = e^{x} x + 2 e^{x}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i fattori in $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$x e^{x} + e^{x} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x e^{x} + e^{x}$ .

$x e^{x} + e^{x}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x e^{x} + e^{x} = 0$ .

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Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x e^{x} + e^{x} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $e^{x}$ da $x e^{x} + e^{x}$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $e^{x}$ da $x e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} = 0$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica per $1$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ .

$e^{x} (x + 1) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.4.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 5.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{x} (x + 1) = 0$ vera.

$x = - 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$(- 1) e^{- 1} + 2 e^{- 1}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 \frac{1}{e} + 2 e^{- 1}$

Passaggio 9.1.2

Riscrivi $- 1 \frac{1}{e}$ come $- \frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + 2 e^{- 1}$

Passaggio 9.1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} + 2 \frac{1}{e}$

Passaggio 9.1.4

$2$ e $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + \frac{2}{e}$

Passaggio 9.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 9.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 + 2}{e}$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{1}{e}$

Passaggio 10

$x = - 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

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Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = (- 1) \cdot e^{- 1}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 11.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 1) = - 1 \cdot \frac{1}{e}$

Passaggio 11.2.2

Riscrivi $- 1 \frac{1}{e}$ come $- \frac{1}{e}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{e}$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{e}$ .

$y = - \frac{1}{e}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x e^{x}$ .

$(- 1, - \frac{1}{e})$ è un minimo locale

Passaggio 13