Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{5 + 2 x^{6}} (12 x^{5}) d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

$12$ e $\frac{1}{5 + 2 x^{6}}$ .

$\int \frac{12}{5 + 2 x^{6}} \cdot x^{5} d x$

Passaggio 1.2

$\frac{12}{5 + 2 x^{6}}$ e $x^{5}$ .

$\int \frac{12 x^{5}}{5 + 2 x^{6}} d x$

Passaggio 2

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$12 \int \frac{x^{5}}{5 + 2 x^{6}} d x$

Passaggio 3

Riscrivi $x^{6}$ come ${(x^{6})}^{1}$ .

$12 \int \frac{x^{5}}{5 + 2 {(x^{6})}^{1}} d x$

Passaggio 4

Sia $u_{1} = x^{6}$ . Allora $d u_{1} = 6 x^{5} d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u_{1} = x^{5} d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u_{1} = x^{6}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $x^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$6 x^{5}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$12 \int \frac{1}{5 + 2 {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

$12 \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\frac{1}{5 + 2 u_{1}}$ per $\frac{1}{6}$ .

$12 \int \frac{1}{(5 + 2 u_{1}) \cdot 6} d u_{1}$

Passaggio 5.3

Sposta $6$ alla sinistra di $5 + 2 u_{1}$ .

$12 \int \frac{1}{6 (5 + 2 u_{1})} d u_{1}$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$12 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

$\frac{1}{6}$ e $12$ .

$\frac{12}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $12$ e $6$ .

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Passaggio 7.2.1

Scomponi $6$ da $12$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 7.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 7.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \int \frac{1}{5 + 2 u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 8

Sia $u_{2} = 5 + 2 u_{1}$ . Allora $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 8.1

Sia $u_{2} = 5 + 2 u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 8.1.1

Differenzia $5 + 2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5 + 2 u_{1}]$

Passaggio 8.1.2

Differenzia.

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Passaggio 8.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 + 2 u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5] + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Passaggio 8.1.2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $5$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Passaggio 8.1.3

Calcola $\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$ .

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Passaggio 8.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $2 u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 8.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Passaggio 8.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 + 2$

Passaggio 8.1.4

Somma $0$ e $2$ .

$2$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 9.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 11.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 11.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 11.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 11.3

Moltiplica $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ per $1$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 13

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 13.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 + 2 u_{1}$ .

$\ln (| 5 + 2 u_{1} |) + C$

Passaggio 13.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{6}$ .

$\ln (| 5 + 2 x^{6} |) + C$