Calcolo Esempi

$(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

Passaggio 1

Scrivi $(10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ come funzione.

$f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (t)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (t) = \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t d t$

Passaggio 4

Poiché $d$ è costante rispetto a $t$ , sposta $d$ fuori dall'integrale.

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) t d t$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$d \int (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9}) t + 4 t^{3} t d t$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$d \int 10 t^{- 3} t + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Passaggio 5.3

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$d \int 10 (t^{- 3} t^{1}) + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Passaggio 5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$d \int 10 t^{- 3 + 1} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Passaggio 5.5

Somma $- 3$ e $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9} t + 4 t^{3} t d t$

Passaggio 5.6

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 (t^{- 9} t^{1}) + 4 t^{3} t d t$

Passaggio 5.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 9 + 1} + 4 t^{3} t d t$

Passaggio 5.8

Somma $- 9$ e $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3} t d t$

Passaggio 5.9

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 (t^{3} t^{1}) d t$

Passaggio 5.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{3 + 1} d t$

Passaggio 5.11

Somma $3$ e $1$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} + 4 t^{4} d t$

Passaggio 5.12

Sposta $12 t^{- 8}$ .

$d \int 10 t^{- 2} + 4 t^{4} + 12 t^{- 8} d t$

Passaggio 5.13

Riordina $10 t^{- 2}$ e $4 t^{4}$ .

$d \int 4 t^{4} + 10 t^{- 2} + 12 t^{- 8} d t$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$d (\int 4 t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Passaggio 7

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$d (4 \int t^{4} d t + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{4}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + \int 10 t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Passaggio 9

Poiché $10$ è costante rispetto a $t$ , sposta $10$ fuori dall'integrale.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 \int t^{- 2} d t + \int 12 t^{- 8} d t)$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{- 2}$ rispetto a $t$ è $- t^{- 1}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + \int 12 t^{- 8} d t)$

Passaggio 11

Poiché $12$ è costante rispetto a $t$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 \int t^{- 8} d t)$

Passaggio 12

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{- 8}$ rispetto a $t$ è $- \frac{1}{7} t^{- 7}$ .

$d (4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

$\frac{1}{5}$ e $t^{5}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7} t^{- 7} + C))$

Passaggio 13.1.2

$t^{- 7}$ e $\frac{1}{7}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{t^{- 7}}{7} + C))$

Passaggio 13.1.3

Sposta $t^{- 7}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$d (4 (\frac{t^{5}}{5} + C) + 10 (- t^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{7 t^{7}} + C))$

Passaggio 13.2

Semplifica.

$d (\frac{4 t^{5}}{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

Passaggio 13.3

Riordina i termini.

$d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (t) = (10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3}) d t$ .

$F (t) =$ $d (\frac{4}{5} t^{5} - \frac{10}{t} - \frac{12}{7 t^{7}}) + C$