Calcolo Esempi

$\int \frac{8}{\sqrt{12 - x^{2} - 4 x}} d x$

Passaggio 1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.1

Riordina i termini.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 x + 12}} d x$

Passaggio 1.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ e la cui somma è $b = - 4$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $- 4$ da $- 4 x$ .

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} - 4 (x) + 12}} d x$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $- 4$ come $2$ più $- 6$ .

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + (2 - 6) x + 12}} d x$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{8}{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 6 x + 12}} d x$

Passaggio 1.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12}} d x$

Passaggio 1.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\int \frac{8}{\sqrt{x (- x + 2) + 6 (- x + 2)}} d x$

Passaggio 1.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 2$ .

$\int \frac{8}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

Passaggio 2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int \frac{1}{\sqrt{(- x + 2) (x + 6)}} d x$

Passaggio 3

Completa il quadrato.

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Passaggio 3.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1.1

Espandi $(- x + 2) (x + 6)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- x (x + 6) + 2 (x + 6)$

Passaggio 3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 (x + 6)$

Passaggio 3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- x \cdot x - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Passaggio 3.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$- (x \cdot x) - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Passaggio 3.1.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- x^{2} - x \cdot 6 + 2 x + 2 \cdot 6$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 2 \cdot 6$

Passaggio 3.1.2.1.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$- x^{2} - 6 x + 2 x + 12$

Passaggio 3.1.2.2

Somma $- 6 x$ e $2 x$ .

$- x^{2} - 4 x + 12$

Passaggio 3.2

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 12$

Passaggio 3.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 3.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 3.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

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Passaggio 3.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Passaggio 3.4.2.2

Riscrivi $- 1 \cdot - 2$ come $- - 2$ .

$d = - - 2$

Passaggio 3.4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$d = 2$

Passaggio 3.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 12 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune di ${(- 4)}^{2}$ e $4$ .

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Passaggio 3.5.2.1.1.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$e = 12 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $- 1 (4)$ .

$e = 12 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.2.1.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = 12 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.2.1.1.4

Moltiplica $4^{2}$ per $1$ .

$e = 12 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.2.1.1.5

Scomponi $4$ da $4^{2}$ .

$e = 12 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.2.1.1.6

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 12 - (- 1 \cdot 4)$

Passaggio 3.5.2.1.2

Moltiplica $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Passaggio 3.5.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 12 - - 4$

Passaggio 3.5.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$e = 12 + 4$

Passaggio 3.5.2.2

Somma $12$ e $4$ .

$e = 16$

Passaggio 3.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $- {(x + 2)}^{2} + 16$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 2)}^{2} + 16}} d x$

Passaggio 4

Sia $u = x + 2$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = x + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 16}} d u$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 4^{2}}} d u$

Passaggio 5.2

Riordina $- u^{2}$ e $4^{2}$ .

$8 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ rispetto a $u$ è $\arcsin (\frac{u}{4})$ .

$8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Passaggio 7

Riscrivi $8 (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ come $8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ .

$8 \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 2$ .

$8 \arcsin (\frac{1}{4} (x + 2)) + C$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

Passaggio 9.2

$\frac{1}{4}$ e $x$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2) + C$

Passaggio 9.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot 2) + C$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2) + C$

Passaggio 9.3.3

Riscrivi l'espressione.

$8 \arcsin (\frac{x}{4} + \frac{1}{2}) + C$

Passaggio 10

Riordina i termini.

$8 \arcsin (\frac{1}{4} x + \frac{1}{2}) + C$