Calcolo Esempi

$4 x (1 + \ln (x))$

Passaggio 1

Scrivi $4 x (1 + \ln (x))$ come funzione.

$f (x) = 4 x (1 + \ln (x))$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 4 x (1 + \ln (x)) d x$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int 4 x \cdot 1 + 4 x \ln (x) d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\int 4 x + 4 x \ln (x) d x$

Passaggio 4.3

Semplifica $4 \ln (x)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$\int 4 x + x \ln (x^{4}) d x$

Passaggio 5

Riscrivi $4 x + x \ln (x^{4})$ come $4 x + x (4 \ln (x))$ .

$\int 4 x + x (4 \ln (x)) d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 4 x d x + \int x (4 \ln (x)) d x$

Passaggio 7

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int x d x + \int x (4 \ln (x)) d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x (4 \ln (x)) d x$

Passaggio 9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x (\ln (x)) d x$

Passaggio 10

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 11.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 11.3

$\ln (x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 11.4

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 11.5

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2}$ per $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Passaggio 11.6

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Passaggio 11.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.2.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Passaggio 11.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Passaggio 11.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x)$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x))$

Passaggio 13

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C))$

Passaggio 14.2

Semplifica.

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}) + C$

Passaggio 14.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2 \cdot 2}) + C$

Passaggio 14.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 x^{2} + 4 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}) + C$

Passaggio 14.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 4 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Passaggio 14.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 x^{2} + 2 (2) \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Passaggio 14.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} + 2 \cdot 2 \frac{\ln (x) x^{2}}{2} + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Passaggio 14.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 (- \frac{x^{2}}{4}) + C$

Passaggio 14.4.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{2}}{4}$ nel numeratore.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 \frac{- x^{2}}{4} + C$

Passaggio 14.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) + 4 \frac{- x^{2}}{4} + C$

Passaggio 14.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{2} + 2 (\ln (x) x^{2}) - x^{2} + C$

Passaggio 14.4.4

Riordina i fattori in $2 \ln (x) x^{2} - x^{2}$ .

$2 x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) - x^{2} + C$

Passaggio 14.4.5

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) + C$

Passaggio 15

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 4 x (1 + \ln (x))$ .

$F (x) =$ $x^{2} + 2 x^{2} \ln (x) + C$