Calcolo Esempi

$f (x) = 3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{- x - 2}$ come ${(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = - x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x - 2$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x - 2$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.7

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.9

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.11.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.13

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.14

Somma $- 1$ e $0$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.15

$\frac{1}{3}$ e ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 (\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.16

$\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $- 1$ .

$3 \frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.17

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 \frac{- 1 \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.18

Riscrivi $- 1 {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ come $- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 \frac{- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.19

Sposta ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{- 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 (- \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.21

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.22

$- 3$ e $\frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.23

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.24

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.24.1

Scomponi $3$ da $3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 ({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.24.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.24.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.2.25

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ e $0$ .

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ come ${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot - 1} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$ e $g (x) = - x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x - 2$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} u^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x - 2$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{\frac{- 2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $3$ da $- 2$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{\frac{- 5}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3} \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}} \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.8.2

${(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{{(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.8.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2 \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.8.3.2

Sposta ${(- x - 2)}^{- \frac{5}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - (- \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.8.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.8.3.4

Moltiplica $\frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x - 2) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.12

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.13

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (- 1 + 0) + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Somma $- 1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} \cdot - 1 + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.14.2

$\frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.14.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.14.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.15

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Passaggio 2.16

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1

Moltiplica $\frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ per $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Passaggio 2.16.2

Somma $- \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(- x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \sqrt[3]{- x - 2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{- x - 2}$ come ${(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 {(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(- x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = - x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x - 2$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x - 2$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- x - 2]) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.7

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.9

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.11.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.11.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.13

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} (- 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.14

Somma $- 1$ e $0$ .

$3 (\frac{1}{3} {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.15

$\frac{1}{3}$ e ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 (\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.16

$\frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $- 1$ .

$3 \frac{{(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.17

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 \frac{- 1 \cdot {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.18

Riscrivi $- 1 {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ come $- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 \frac{- {(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.19

Sposta ${(- x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{- 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 (- \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.21

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 \frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.22

$- 3$ e $\frac{1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.23

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.24

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.24.1

Scomponi $3$ da $3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 ({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.24.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 {(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.24.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.2.25

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

Passaggio 4.1.3.2

Somma $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ e $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 5.3

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- \frac{1}{\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{{(- x - 2)}^{2}}$ come ${(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- x - 2)}^{2} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

${(- x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

${(- (x) - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3.1.1.2

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

${(- (x) - 1 \cdot 2)}^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3.1.1.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (2)$ .

${(- (x + 2))}^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $- (x + 2)$ .

${(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Dividi per ${(- 1)}^{2}$ ciascun termine in ${(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Dividi per ${(- 1)}^{2}$ ciascun termine in ${(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2} = 0$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.3.2.2.1.2

Dividi ${(x + 2)}^{2}$ per $1$ .

${(x + 2)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

${(x + 2)}^{2} = \frac{0}{1}$

Passaggio 6.3.3.2.3.2

Dividi $0$ per $1$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3.3

Poni $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 6.3.3.4

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{2}{3 {(- (- 2) - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- \frac{2}{3 {(2 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9.1.3

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9.1.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{5}}$

Passaggio 9.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Passaggio 9.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{2}{0}$

Passaggio 9.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata prima $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = - \frac{1}{{(- (- 4) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f' (- 4) = - \frac{1}{{(4 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Sottrai $2$ da $4$ .

$f' (- 4) = - \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.2.2.2

La risposta finale è $- \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- 2, \infty)$ nella derivata prima $- \frac{1}{{(- x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = - \frac{1}{{(- (0) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f' (0) = - \frac{1}{{(0 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$f' (0) = - \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.3.2.2

La risposta finale è $- \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{1}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 10.4

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = - 2$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.5

Nessun massimo o minimo locale trovato per $f (x) = 3 \sqrt[3]{- x - 2} + 6$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 11