Calcolo Esempi

$\int \cos^{2} (\frac{x}{1}) - \sin (x) d x$

Passaggio 1

Dividi $x$ per $1$ .

$\int \cos^{2} (x) - \sin (x) d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \cos^{2} (x) d x + \int - \sin (x) d x$

Passaggio 3

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (x)$ come $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x + \int - \sin (x) d x$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x + \int - \sin (x) d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x) + \int - \sin (x) d x$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x) + \int - \sin (x) d x$

Passaggio 7

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 7.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) + \int - \sin (x) d x$

Passaggio 8

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) + \int - \sin (x) d x$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) + \int - \sin (x) d x$

Passaggio 10

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C)) + \int - \sin (x) d x$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C)) - \int \sin (x) d x$

Passaggio 12

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C)) - (- \cos (x) + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica.

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) - - \cos (x) + C$

Passaggio 13.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + 1 \cos (x) + C$

Passaggio 13.2.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + \cos (x) + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + \cos (x) + C$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + \cos (x) + C$

Passaggio 15.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + \cos (x) + C$

Passaggio 15.3

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + \cos (x) + C$

Passaggio 15.4

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + \cos (x) + C$

Passaggio 15.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + \cos (x) + C$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + \cos (x) + C$