Calcolo Esempi

$2 \arctan (x)$

Passaggio 1

Scrivi $2 \arctan (x)$ come funzione.

$f (x) = 2 \arctan (x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 2 \arctan (x) d x$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \arctan (x) d x$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \arctan (x)$ e $d v = 1$ .

$2 (\arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 6

$x$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 7

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 7.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 7.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Passaggio 8.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$2 (\arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u)$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C))$

Passaggio 11

Semplifica.

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |)) + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$2 (\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

$\ln (| x^{2} + 1 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (\arctan (x) x - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

Passaggio 13.2

Per scrivere $\arctan (x) x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (\arctan (x) x \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

Passaggio 13.3

$\arctan (x) x$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{\arctan (x) x \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2}) + C$

Passaggio 13.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \frac{\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Passaggio 13.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 13.5.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Passaggio 13.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\arctan (x) x \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Passaggio 13.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\arctan (x) x$ .

$2 \arctan (x) x - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Passaggio 13.7

Riordina i fattori in $2 \arctan (x) x - \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$2 x \arctan (x) - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 2 \arctan (x)$ .

$F (x) =$ $2 x \arctan (x) - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$