Calcolo Esempi

$x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2} = 1$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}) = \frac{d}{d y} (1)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x^{2}$ e $g (y) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x x') + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y + y^{2} (2 x x') + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2 x y$ rispetto a $y$ è $- 2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.4

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x \cdot 1 + y x') + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.4.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + 2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + 2 x \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 (x + y x') + 2 x x'$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 x - 2 (y x') + 2 x x'$

Passaggio 2.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 x - 2 y x' + 2 x x'$

Passaggio 2.5.3

Riordina i termini.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' - 2 x$

Passaggio 3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 x^{2} y + 2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' - 2 x = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sottrai $2 x^{2} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' - 2 x = - 2 x^{2} y$

Passaggio 5.1.2

Somma $2 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x' = - 2 x^{2} y + 2 x$

Passaggio 5.2

Scomponi $2 x'$ da $2 y^{2} x x' - 2 y x' + 2 x x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $2 x'$ da $2 y^{2} x x'$ .

$2 x' (y^{2} x) - 2 y x' + 2 x x' = - 2 x^{2} y + 2 x$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $2 x'$ da $- 2 y x'$ .

$2 x' (y^{2} x) + 2 x' (- y) + 2 x x' = - 2 x^{2} y + 2 x$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $2 x'$ da $2 x x'$ .

$2 x' (y^{2} x) + 2 x' (- y) + 2 x' x = - 2 x^{2} y + 2 x$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $2 x'$ da $2 x' (y^{2} x) + 2 x' (- y)$ .

$2 x' (y^{2} x - y) + 2 x' x = - 2 x^{2} y + 2 x$

Passaggio 5.2.5

Scomponi $2 x'$ da $2 x' (y^{2} x - y) + 2 x' x$ .

$2 x' (y^{2} x - y + x) = - 2 x^{2} y + 2 x$

Passaggio 5.3

Dividi per $2 (y^{2} x - y + x)$ ciascun termine in $2 x' (y^{2} x - y + x) = - 2 x^{2} y + 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $2 (y^{2} x - y + x)$ ciascun termine in $2 x' (y^{2} x - y + x) = - 2 x^{2} y + 2 x$ .

$\frac{2 x' (y^{2} x - y + x)}{2 (y^{2} x - y + x)} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x' (y^{2} x - y + x)}{2 (y^{2} x - y + x)} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' (y^{2} x - y + x)}{y^{2} x - y + x} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{2} x - y + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (y^{2} x - y + x)}{y^{2} x - y + x} = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{- 2 x^{2} y}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2} y$ .

$x' = \frac{2 (- x^{2} y)}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x' = \frac{2 (- x^{2} y)}{2 (y^{2} x - y + x)} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x' = \frac{- x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$x' = - \frac{x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{2 x}{2 (y^{2} x - y + x)}$

Passaggio 5.3.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x' = - \frac{x^{2} y}{y^{2} x - y + x} + \frac{x}{y^{2} x - y + x}$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x' = \frac{- x^{2} y + x}{y^{2} x - y + x}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Scomponi $x$ da $- x^{2} y + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Scomponi $x$ da $- x^{2} y$ .

$x' = \frac{x (- x y) + x}{y^{2} x - y + x}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x' = \frac{x (- x y) + x^{1}}{y^{2} x - y + x}$

Passaggio 5.3.3.2.2.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$x' = \frac{x (- x y) + x \cdot 1}{y^{2} x - y + x}$

Passaggio 5.3.3.2.2.4

Scomponi $x$ da $x (- x y) + x \cdot 1$ .

$x' = \frac{x (- x y + 1)}{y^{2} x - y + x}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $- x y$ .

$x' = \frac{x (- (x y) + 1)}{y^{2} x - y + x}$

Passaggio 5.3.3.2.4

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{x (- (x y) - 1 (- 1))}{y^{2} x - y + x}$

Passaggio 5.3.3.2.5

Scomponi $- 1$ da $- (x y) - 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{x (- (x y - 1))}{y^{2} x - y + x}$

Passaggio 5.3.3.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.6.1

Riscrivi $- (x y - 1)$ come $- 1 (x y - 1)$ .

$x' = \frac{x (- 1 (x y - 1))}{y^{2} x - y + x}$

Passaggio 5.3.3.2.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{x (x y - 1)}{y^{2} x - y + x}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x (x y - 1)}{y^{2} x - y + x}$