Calcolo Esempi

$e^{\frac{x + 1}{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $e^{\frac{x + 1}{2}}$ come funzione.

$f (x) = e^{\frac{x + 1}{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int e^{\frac{x + 1}{2}} d x$

Passaggio 4

Sia $u = \frac{x + 1}{2}$ . Allora $d u = \frac{1}{2} d x$ , quindi $2 d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = \frac{x + 1}{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $\frac{x + 1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2}]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x + 1}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 4.1.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.1.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (1 + 0)$

Passaggio 4.1.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 4.1.6.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\int e^{u} \cdot 2 d u$

Passaggio 5.3

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{u}$ .

$\int 2 e^{u} d u$

Passaggio 6

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int e^{u} d u$

Passaggio 7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$2 (e^{u} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

$2 e^{u} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x + 1}{2}$ .

$2 e^{\frac{x + 1}{2}} + C$

Passaggio 10

Riordina i termini.

$2 e^{\frac{1}{2} (x + 1)} + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = e^{\frac{x + 1}{2}}$ .

$F (x) =$ $2 e^{\frac{1}{2} (x + 1)} + C$