Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\sqrt{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\sqrt{3} \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\sqrt{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$ .

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x) = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3.2

Dividi $\sqrt{3}$ per $1$ .

$\sqrt{3} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.4

Frazioni separate.

$\sqrt{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\sqrt{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.6

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.7

Frazioni separate.

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 2.8

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 2.9

Dividi $0$ per $1$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Passaggio 2.10

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$\sqrt{3} - \tan (x) = 0$

Passaggio 2.11

Sottrai $\sqrt{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \tan (x) = - \sqrt{3}$

Passaggio 2.12

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - \sqrt{3}$ e semplifica.

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Passaggio 2.12.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = - \sqrt{3}$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Passaggio 2.12.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.12.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Passaggio 2.12.2.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

Passaggio 2.12.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.12.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{1}$

Passaggio 2.12.3.2

Dividi $\sqrt{3}$ per $1$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Passaggio 2.13

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Passaggio 2.14

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.14.1

Il valore esatto di $\arctan (\sqrt{3})$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 2.15

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{3}$

Passaggio 2.16

Semplifica $π + \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 2.16.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 2.16.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.16.2.1

$π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 2.16.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Passaggio 2.16.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.16.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Passaggio 2.16.3.2

Somma $3 π$ e $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 2.17

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 2.17.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 2.17.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 2.17.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 2.17.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.18

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{π}{3}$ a $x$ .

$\sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 4.1.2.1.2.1

$\sqrt{3}$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.1.2.1.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.1.2.1.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.1.2.1.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.1.2.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.1.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.1.2.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.1.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.1.2.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.1.2.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3^{1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.1.2.1.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{3}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.1.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 4.1.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 + 1}{2}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.2.1

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{4}{2}$

Passaggio 4.1.2.2.2.2

Dividi $4$ per $2$ .

$2$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{4 π}{3}$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\frac{4 π}{3}$ a $x$ .

$\sqrt{3} \sin (\frac{4 π}{3}) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$\sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

$\sqrt{3}$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{3^{1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.4.5

Calcola l'esponente.

$- \frac{3}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$- \frac{3}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.6

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 3 - 1}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.2.1

Sottrai $1$ da $- 3$ .

$\frac{- 4}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.2.2

Dividi $- 4$ per $2$ .

$- 2$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{π}{3} + 2 π n, 2), (\frac{4 π}{3} + 2 π n, - 2)$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5