Calcolo Esempi

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} + 4 v^{8}}{v^{5}} d v$

Passaggio 1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $v^{4}$ da $v^{4} + 4 v^{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} \cdot 1 + 4 v^{8}}{v^{5}} d v$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $v^{4}$ da $4 v^{8}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} \cdot 1 + v^{4} (4 v^{4})}{v^{5}} d v$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $v^{4}$ da $v^{4} \cdot 1 + v^{4} (4 v^{4})$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{5}} d v$

Passaggio 1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $v^{4}$ da $v^{5}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{4} v} d v$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{4} v} d v$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{1}^{2} \frac{1 + 4 v^{4}}{v} d v$

Passaggio 2

Riordina $1$ e $4 v^{4}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{4 v^{4} + 1}{v} d v$

Passaggio 3

Dividi $4 v^{4} + 1$ per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

Passaggio 3.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 v^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $v$ .

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

Passaggio 3.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

Passaggio 3.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 v^{4} + 0$

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

Passaggio 3.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

Passaggio 3.6

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

$0 v^{2}$

$0 v$

Passaggio 3.7

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int_{1}^{2} 4 v^{3} + \frac{1}{v} d v$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{2} 4 v^{3} d v + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Passaggio 5

Poiché $4$ è costante rispetto a $v$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int_{1}^{2} v^{3} d v + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $v^{3}$ rispetto a $v$ è $\frac{1}{4} v^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} v^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Passaggio 7

$\frac{1}{4}$ e $v^{4}$ .

$4 (\frac{v^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{v}$ rispetto a $v$ è $\ln (| v |)$ .

$4 (\frac{v^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \ln (| v |)]_{1}^{2}$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Calcola $\frac{v^{4}}{4}$ per $2$ e per $1$ .

$4 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| v |)]_{1}^{2}$

Passaggio 9.1.2

Calcola $\ln (| v |)$ per $2$ e per $1$ .

$4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 9.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$4 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 9.1.3.2

Elimina il fattore comune di $16$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 9.1.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 9.1.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 9.1.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 9.1.3.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$4 (4 - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 9.1.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 (4 - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 9.1.3.4

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$4 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 9.1.3.5

$4$ e $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 9.1.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 9.1.3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.7.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$4 \frac{16 - 1}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 9.1.3.7.2

Sottrai $1$ da $16$ .

$4 (\frac{15}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 9.1.3.8

$4$ e $\frac{15}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 9.1.3.9

Moltiplica $4$ per $15$ .

$\frac{60}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 9.1.3.10

Elimina il fattore comune di $60$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.10.1

Scomponi $4$ da $60$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 9.1.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.10.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4 (1)} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 9.1.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 15}{4 \cdot 1} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 9.1.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{15}{1} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 9.1.3.10.2.4

Dividi $15$ per $1$ .

$15 + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 9.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$15 + \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$15 + \ln (\frac{2}{| 1 |})$

Passaggio 9.3.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$15 + \ln (\frac{2}{1})$

Passaggio 9.3.3

Dividi $2$ per $1$ .

$15 + \ln (2)$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$15 + \ln (2)$

Forma decimale:

$15.69314718 \dots$

Passaggio 11