Calcolo Esempi

$\int \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x)} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- d u = \sin (x) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u^{3}} d u$

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $u^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \int u^{- 3} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 3}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica.

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Passaggio 6.1.1

$u^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

Passaggio 6.1.2

Sposta $u^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

Passaggio 6.2

Semplifica.

$- - \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Passaggio 6.3

Semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2 u^{2}}$ per $1$ .

$\frac{1}{2 u^{2}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 \cos^{2} (x)} + C$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{1}{2 (\cos^{2} (x) \cdot 1)} + C$

Passaggio 8.2

Frazioni separate.

$\frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + C$

Passaggio 8.3

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (x) + C$

Passaggio 8.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$

Passaggio 8.5

$\frac{1}{2}$ e $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{2} + C$

Passaggio 8.6

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} \sec^{2} (x) + C$