Calcolo Esempi

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 2$ e $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 3)}^{1}}$

Passaggio 4

Semplifica.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

Passaggio 5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

Passaggio 5.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

Passaggio 5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x + 3$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 3$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Passaggio 7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Passaggio 8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Passaggio 9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Passaggio 10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Passaggio 10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Passaggio 11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Passaggio 11.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Passaggio 11.3

Sposta ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

Passaggio 12

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{x + 3}$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]))}{x + 3}$

Passaggio 14

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0))}{x + 3}$

Passaggio 15

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 3}$

Passaggio 15.2

Moltiplica $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 3}$

Passaggio 15.3

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 3}$ .

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 3)}$

Passaggio 16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 3)}$

Passaggio 16.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 3)}$

Passaggio 16.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Passaggio 16.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.1

Scomponi $3$ da $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.1.1

Scomponi $3$ da $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Passaggio 16.4.1.2

Scomponi $3$ da $3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Passaggio 16.4.1.3

Scomponi $3$ da $3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Passaggio 16.4.2

Sia $u_{2} = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ con $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 \frac{2 u_{2} \cdot u_{2} - x - 2}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Passaggio 16.4.2.2

Moltiplica $u_{2}$ per $u_{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.2.2.1

Sposta $u_{2}$ .

$\frac{3 \frac{2 (u_{2} \cdot u_{2}) - x - 2}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Passaggio 16.4.2.2.2

Moltiplica $u_{2}$ per $u_{2}$ .

$\frac{3 \frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 2}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Passaggio 16.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \frac{2 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Passaggio 16.4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.4.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.4.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Passaggio 16.4.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.4.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Passaggio 16.4.4.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \frac{2 {(x + 3)}^{1} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Passaggio 16.4.4.1.2

Semplifica.

$\frac{3 \frac{2 (x + 3) - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Passaggio 16.4.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 \frac{2 x + 2 \cdot 3 - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Passaggio 16.4.4.1.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{3 \frac{2 x + 6 - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Passaggio 16.4.4.2

Sottrai $x$ da $2 x$ .

$\frac{3 \frac{x + 6 - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Passaggio 16.4.4.3

Sottrai $2$ da $6$ .

$\frac{3 \frac{x + 4}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Passaggio 16.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.5.1

$3$ e $\frac{x + 4}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Passaggio 16.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 6}$

Passaggio 16.5.3

Riscrivi $\frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 6}$ come un prodotto.

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 6}$

Passaggio 16.5.4

Moltiplica $\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{2 x + 6}$ .

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 6)}$

Passaggio 16.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.6.1

Scomponi $2$ da $2 x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.6.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 6)}$

Passaggio 16.6.1.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 3)}$

Passaggio 16.6.1.3

Scomponi $2$ da $2 x + 2 \cdot 3$ .

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 3))}$

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x + 3)}$

Passaggio 16.6.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.6.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (x + 3)}$

Passaggio 16.6.2.2

Eleva $x + 3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 (x + 4)}{4 ({(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 16.6.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.6.2.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.6.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Passaggio 16.6.2.6

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$