Calcolo Esempi

$\int csch (\frac{1}{2} x) \coth (\frac{1}{2} x) d x$

Passaggio 1

Sia $u = \frac{1}{2} x$ . Allora $d u = \frac{1}{2} d x$ , quindi $2 d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \frac{1}{2} x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int csch (u) \coth (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\int csch (u) \coth (u) (1 \cdot 2) d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\int csch (u) \coth (u) \cdot 2 d u$

Passaggio 2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $csch (u) \coth (u)$ .

$\int 2 csch (u) \coth (u) d u$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int csch (u) \coth (u) d u$

Passaggio 4

Poiché la derivata di $- csch (u)$ è $csch (u) \coth (u)$ , l'integrale di $csch (u) \coth (u)$ è $- csch (u)$ .

$2 (- csch (u) + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

$2 (- csch (u)) + C$

Passaggio 5.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 csch (u) + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{2} x$ .

$- 2 csch (\frac{1}{2} x) + C$