Calcolo Esempi

$y = \sqrt[3]{x^{2}} (2 e^{x} - x^{2})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2}}$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - x^{2})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 2 e^{x} - x^{2}$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [2 e^{x} - x^{2}] + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 e^{x} - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - (2 x)) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Passaggio 6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Passaggio 9.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Passaggio 10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Passaggio 11

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 12

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x} - 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x) + (2 e^{x} - x^{2}) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 13.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x) + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 13.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Moltiplica $x^{\frac{2}{3}}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1.1

Sposta $x$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x \cdot x^{\frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 13.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{1} x^{\frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 13.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{1 + \frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 13.3.1.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 13.3.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{\frac{3 + 2}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 13.3.1.5

Somma $3$ e $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + x^{\frac{5}{3}} \cdot - 2 + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 13.3.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{\frac{5}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 \cdot x^{\frac{5}{3}} + 2 e^{x} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 13.3.3

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ e $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} e^{x} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 13.3.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} e^{x} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 13.3.5

$\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ e $e^{x}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 13.3.6

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ e $x^{2}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 13.3.7

Sposta $x^{\frac{1}{3}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{2} x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 13.3.8

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{- \frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.8.1

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x^{2})}{3}$

Passaggio 13.3.8.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 2}}{3}$

Passaggio 13.3.8.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}{3}$

Passaggio 13.3.8.4

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}{3}$

Passaggio 13.3.8.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 3}{3}}}{3}$

Passaggio 13.3.8.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.8.6.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{\frac{- 1 + 6}{3}}}{3}$

Passaggio 13.3.8.6.2

Somma $- 1$ e $6$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Passaggio 13.3.9

Per scrivere $- 2 x^{\frac{5}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 13.3.10

$- 2 x^{\frac{5}{3}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + \frac{- 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 13.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + \frac{- 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot 3 - 2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 13.3.12

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + \frac{- 6 x^{\frac{5}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 13.3.13

Sottrai $2 x^{\frac{5}{3}}$ da $- 6 x^{\frac{5}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) + \frac{- 8 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 13.3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{\frac{2}{3}} (2 e^{x}) - \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 13.4

Riordina i termini.

$2 e^{x} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$