Calcolo Esempi

$y = \arctan (\sin (x^{2} - 6 x))$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (\sin (x^{2} - 6 x)))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \sin (x^{2} - 6 x)$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (x^{2} - 6 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} - 6 x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\arctan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} - 6 x)]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (x^{2} - 6 x)$ .

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} - 6 x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2} - 6 x$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2} - 6 x$ .

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} - 6 x$ .

$\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (\cos (x^{2} - 6 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

$\cos (x^{2} - 6 x)$ e $\frac{1}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Passaggio 3.3.4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x - 6 \cdot 1)$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x - 6)$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Riordina i fattori di $\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} (2 x - 6)$ .

$(2 x - 6) \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Passaggio 3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} - 6 \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $2 x \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ .

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Passaggio 3.4.3.1

$2$ e $\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ .

$x \frac{2 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} - 6 \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Passaggio 3.4.3.2

$x$ e $\frac{2 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ .

$\frac{x (2 \cos (x^{2} - 6 x))}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} - 6 \frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Passaggio 3.4.4

$- 6$ e $\frac{\cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$ .

$\frac{x (2 \cos (x^{2} - 6 x))}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} + \frac{- 6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Passaggio 3.4.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.5.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 \cdot x \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} + \frac{- 6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Passaggio 3.4.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 x \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)} - \frac{6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Passaggio 3.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x \cos (x^{2} - 6 x) - 6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Passaggio 3.4.7

Scomponi $2 \cos (x^{2} - 6 x)$ da $2 x \cos (x^{2} - 6 x) - 6 \cos (x^{2} - 6 x)$ .

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Passaggio 3.4.7.1

Scomponi $2 \cos (x^{2} - 6 x)$ da $2 x \cos (x^{2} - 6 x)$ .

$\frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x) - 6 \cos (x^{2} - 6 x)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Passaggio 3.4.7.2

Scomponi $2 \cos (x^{2} - 6 x)$ da $- 6 \cos (x^{2} - 6 x)$ .

$\frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x) + 2 \cos (x^{2} - 6 x) (- 3)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Passaggio 3.4.7.3

Scomponi $2 \cos (x^{2} - 6 x)$ da $2 \cos (x^{2} - 6 x) (x) + 2 \cos (x^{2} - 6 x) (- 3)$ .

$\frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x - 3)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x - 3)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cos (x^{2} - 6 x) (x - 3)}{1 + \sin^{2} (x^{2} - 6 x)}$