Calcolo Esempi

$\frac{1}{x (x - 3)}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{x (x - 3)}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{x (x - 3)}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{x (x - 3)} d x$

Passaggio 4

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 4.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 4.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x - 3)$ .

$\frac{1 (x (x - 3))}{x (x - 3)} = \frac{A (x (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 4.1.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x (x - 3))}{x (x - 3)} = \frac{A (x (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 4.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 4.1.4

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 4.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (x (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 4.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (x (x - 3))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 4.1.5.1.2

Dividi $A (x - 3)$ per $1$ .

$1 = A (x - 3) + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 4.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 4.1.5.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $A$ .

$1 = A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 4.1.5.4

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A x - 3 A + \frac{B (x (x - 3))}{x - 3}$

Passaggio 4.1.5.4.2

Dividi $(B) (x)$ per $1$ .

$1 = A x - 3 A + (B) (x)$

$1 = A x - 3 A + B x$

Passaggio 4.1.6

Sposta $- 3 A$ .

$1 = A x + B x - 3 A$

Passaggio 4.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 4.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 4.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 3 A$

Passaggio 4.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = - 3 A$

$0 = A + B$

$1 = - 3 A$

Passaggio 4.3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 4.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = - 3 A$ .

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Passaggio 4.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 A = 1$ .

$- 3 A = 1$

$0 = A + B$

Passaggio 4.3.1.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 A = 1$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$0 = A + B$

Passaggio 4.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$0 = A + B$

Passaggio 4.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{- 3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$0 = A + B$

Passaggio 4.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = A + B$

Passaggio 4.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- \frac{1}{3}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B$ con $- \frac{1}{3}$ .

$0 = (- \frac{1}{3}) + B$

$A = - \frac{1}{3}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

Passaggio 4.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = - \frac{1}{3} + B$ .

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Passaggio 4.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{1}{3} + B = 0$ .

$- \frac{1}{3} + B = 0$

$A = - \frac{1}{3}$

Passaggio 4.3.3.2

Somma $\frac{1}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

Passaggio 4.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = \frac{1}{3} A = - \frac{1}{3}$

Passaggio 4.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = \frac{1}{3}, A = - \frac{1}{3}$

Passaggio 4.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$- \frac{\frac{1}{3}}{x} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 3}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 3}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{x \cdot 3} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 3}$

Passaggio 4.5.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{1}{3 x} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 3}$

Passaggio 4.5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{3 x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 3}$

Passaggio 4.5.5

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{x - 3}$ .

$\int - \frac{1}{3 x} + \frac{1}{3 (x - 3)} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \frac{1}{3 x} d x + \int \frac{1}{3 (x - 3)} d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{3 x} d x + \int \frac{1}{3 (x - 3)} d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{1}{3 (x - 3)} d x$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{3 (x - 3)} d x$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 3} d x$

Passaggio 10

Sia $u = x - 3$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 10.1

Sia $u = x - 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 10.1.1

Differenzia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 10.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 10.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 10.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 11

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

$- \frac{1}{3} \ln (| x |) + \frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 3$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| x |) + \frac{1}{3} \ln (| x - 3 |) + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{x (x - 3)}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \ln (| x |) + \frac{1}{3} \ln (| x - 3 |) + C$