Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (5 x - 3)}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Espandi $(x + 1) (5 x - 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (5 x - 3) + 1 (5 x - 3)}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (5 x) + x \cdot - 3 + 1 (5 x - 3)}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (5 x) + x \cdot - 3 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 3}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 3}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (x \cdot x) + x \cdot - 3 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 3}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + x \cdot - 3 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 3}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.2.1.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} - 3 \cdot x + 1 (5 x) + 1 \cdot - 3}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.2.1.4

Moltiplica $5 x$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} - 3 x + 5 x + 1 \cdot - 3}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.2.1.5

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} - 3 x + 5 x - 3}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.2.2

Somma $- 3 x$ e $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} + 3}$

Passaggio 2

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Passaggio 3.1.1.2

Dividi $5$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

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Passaggio 3.1.2.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Passaggio 3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.1.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Passaggio 3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Passaggio 3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x^{2}}}$

Passaggio 3.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}$

Passaggio 3.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}$

Passaggio 3.5

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}$

Passaggio 3.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{5 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}$

Passaggio 4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{5 + 2 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}$

Passaggio 5

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{5 + 2 \cdot 0 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}$

Passaggio 6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$\frac{5 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}$

Passaggio 7

Calcola il limite.

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Passaggio 7.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{5 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Passaggio 7.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{5 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Passaggio 7.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{5 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 8

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$\frac{5 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{1 + 3 \cdot 0}$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{5 + 0 - 3 \cdot 0}{1 + 3 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$\frac{5 + 0 + 0}{1 + 3 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.3

Somma $5 + 0$ e $0$ .

$\frac{5 + 0}{1 + 3 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.4

Somma $5$ e $0$ .

$\frac{5}{1 + 3 \cdot 0}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{5}{1 + 0}$

Passaggio 9.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{5}{1}$

Passaggio 9.3

Dividi $5$ per $1$ .

$5$