Calcolo Esempi

$\frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{5} x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.3

$5$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.4

$\frac{5}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.5.2

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x^{4} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$x^{4} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{4} - 4 x^{3} - 12 (3 x^{2})$

Passaggio 2.1.4.3

Moltiplica $3$ per $- 12$ .

$f' (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 36 x^{2}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 4 x^{3} - 36 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 36 (2 x)$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 36$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 12 x^{2} - 72 x = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $4 x$ da $- 12 x^{2}$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x) - 72 x = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi $4 x$ da $- 72 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x) + 4 x (- 18) = 0$

Passaggio 3.2.1.4

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{2}) + 4 x (- 3 x)$ .

$4 x (x^{2} - 3 x) + 4 x (- 18) = 0$

Passaggio 3.2.1.5

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{2} - 3 x) + 4 x (- 18)$ .

$4 x (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 3 x - 18$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 18$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 6, 3$

Passaggio 3.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$4 x ((x - 6) (x + 3)) = 0$

Passaggio 3.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 x (x - 6) (x + 3) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 3.6

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (x - 6) (x + 3) = 0$ vera.

$x = 0, 6, - 3$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{1}{5} \cdot {(0)}^{5} - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{1}{5} \cdot 0 - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 0 - 12 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2.1.6

Moltiplica $- 12$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $6$ in $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f (6) = \frac{1}{5} \cdot {(6)}^{5} - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $5$ .

$f (6) = \frac{1}{5} \cdot 7776 - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.2

$\frac{1}{5}$ e $7776$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - {(6)}^{4} - 12 {(6)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Eleva $6$ alla potenza di $4$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1 \cdot 1296 - 12 {(6)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1296$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 12 {(6)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 12 \cdot 216$

Passaggio 4.3.2.1.6

Moltiplica $- 12$ per $216$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} - 1296 - 2592$

Passaggio 4.3.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Scrivi $- 1296$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296}{1} - 2592$

Passaggio 4.3.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 1296}{1}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296}{1} \cdot \frac{5}{5} - 2592$

Passaggio 4.3.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 1296}{1}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} - 2592$

Passaggio 4.3.2.2.4

Scrivi $- 2592$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592}{1}$

Passaggio 4.3.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 2592}{1}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 4.3.2.2.6

Moltiplica $\frac{- 2592}{1}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (6) = \frac{7776}{5} + \frac{- 1296 \cdot 5}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5}$

Passaggio 4.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (6) = \frac{7776 - 1296 \cdot 5 - 2592 \cdot 5}{5}$

Passaggio 4.3.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Moltiplica $- 1296$ per $5$ .

$f (6) = \frac{7776 - 6480 - 2592 \cdot 5}{5}$

Passaggio 4.3.2.4.2

Moltiplica $- 2592$ per $5$ .

$f (6) = \frac{7776 - 6480 - 12960}{5}$

Passaggio 4.3.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Sottrai $6480$ da $7776$ .

$f (6) = \frac{1296 - 12960}{5}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Sottrai $12960$ da $1296$ .

$f (6) = \frac{- 11664}{5}$

Passaggio 4.3.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (6) = - \frac{11664}{5}$

Passaggio 4.3.2.6

La risposta finale è $- \frac{11664}{5}$ .

$- \frac{11664}{5}$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $6$ in $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ è $(6, - \frac{11664}{5})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(6, - \frac{11664}{5})$

Passaggio 4.5

Sostituisci $- 3$ in $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = \frac{1}{5} \cdot {(- 3)}^{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $5$ .

$f (- 3) = \frac{1}{5} \cdot - 243 - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Passaggio 4.5.2.1.2

$\frac{1}{5}$ e $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Passaggio 4.5.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - {(- 3)}^{4} - 12 {(- 3)}^{3}$

Passaggio 4.5.2.1.4

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 1 \cdot 81 - 12 {(- 3)}^{3}$

Passaggio 4.5.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $81$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 - 12 {(- 3)}^{3}$

Passaggio 4.5.2.1.6

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 - 12 \cdot - 27$

Passaggio 4.5.2.1.7

Moltiplica $- 12$ per $- 27$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} - 81 + 324$

Passaggio 4.5.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Scrivi $- 81$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81}{1} + 324$

Passaggio 4.5.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 81}{1}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81}{1} \cdot \frac{5}{5} + 324$

Passaggio 4.5.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 81}{1}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + 324$

Passaggio 4.5.2.2.4

Scrivi $324$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324}{1}$

Passaggio 4.5.2.2.5

Moltiplica $\frac{324}{1}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 4.5.2.2.6

Moltiplica $\frac{324}{1}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} + \frac{324 \cdot 5}{5}$

Passaggio 4.5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 3) = \frac{- 243 - 81 \cdot 5 + 324 \cdot 5}{5}$

Passaggio 4.5.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.4.1

Moltiplica $- 81$ per $5$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 - 405 + 324 \cdot 5}{5}$

Passaggio 4.5.2.4.2

Moltiplica $324$ per $5$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 - 405 + 1620}{5}$

Passaggio 4.5.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.5.1

Sottrai $405$ da $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 648 + 1620}{5}$

Passaggio 4.5.2.5.2

Somma $- 648$ e $1620$ .

$f (- 3) = \frac{972}{5}$

Passaggio 4.5.2.6

La risposta finale è $\frac{972}{5}$ .

$\frac{972}{5}$

Passaggio 4.6

Il punto trovato sostituendo $- 3$ in $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 12 x^{3}$ è $(- 3, \frac{972}{5})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 3, \frac{972}{5})$

Passaggio 4.7

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (6, - \frac{11664}{5}), (- 3, \frac{972}{5})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 3)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3.1$ nell'espressione.

$f'' (- 3.1) = 4 {(- 3.1)}^{3} - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 3.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 3.1) = 4 \cdot - 29.791 - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 12 {(- 3.1)}^{2} - 72 \cdot - 3.1$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 3.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 12 \cdot 9.61 - 72 \cdot - 3.1$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 115.32 - 72 \cdot - 3.1$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $- 72$ per $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - 119.164 - 115.32 + 223.2$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $115.32$ da $- 119.164$ .

$f'' (- 3.1) = - 234.484 + 223.2$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 234.484$ e $223.2$ .

$f'' (- 3.1) = - 11.284$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 11.284$ .

$- 11.284$

Passaggio 6.3

Per $- 3.1$ , la derivata seconda è $- 11.284$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 3)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 3)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 3, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{2^{3}}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{8}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{27}{8}$ nel numeratore.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{8}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.5.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 (2)}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{2} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 72 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.7

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 72 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 72 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) - 72 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.9

Moltiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 72 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.10

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 \frac{9}{2^{2}} - 72 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.11

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 12 (\frac{9}{4}) - 72 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.12

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.12.1

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 4 (- 3) (\frac{9}{4}) - 72 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.12.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 4 \cdot (- 3 (\frac{9}{4})) - 72 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.12.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 3 \cdot 9 - 72 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.13

Moltiplica $- 3$ per $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 72 (- \frac{3}{2})$

Passaggio 7.2.1.14

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.14.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{2}$ nel numeratore.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 72 (\frac{- 3}{2})$

Passaggio 7.2.1.14.2

Scomponi $2$ da $- 72$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 2 (- 36) (\frac{- 3}{2})$

Passaggio 7.2.1.14.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 2 \cdot (- 36 (\frac{- 3}{2}))$

Passaggio 7.2.1.14.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 - 36 \cdot - 3$

Passaggio 7.2.1.15

Moltiplica $- 36$ per $- 3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 27 + 108$

Passaggio 7.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Scrivi $- 27$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} + 108$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 27}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} + 108$

Passaggio 7.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 27}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + 108$

Passaggio 7.2.2.4

Scrivi $108$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108}{1}$

Passaggio 7.2.2.5

Moltiplica $\frac{108}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 7.2.2.6

Moltiplica $\frac{108}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{108 \cdot 2}{2}$

Passaggio 7.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 27 \cdot 2 + 108 \cdot 2}{2}$

Passaggio 7.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Moltiplica $- 27$ per $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 54 + 108 \cdot 2}{2}$

Passaggio 7.2.4.2

Moltiplica $108$ per $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 54 + 216}{2}$

Passaggio 7.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Sottrai $54$ da $- 27$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 81 + 216}{2}$

Passaggio 7.2.5.2

Somma $- 81$ e $216$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{135}{2}$

Passaggio 7.2.6

La risposta finale è $\frac{135}{2}$ .

$\frac{135}{2}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $- \frac{3}{2}$ , la derivata seconda è $67.5$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 3, 0)$ .

Crescente su $(- 3, 0)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 6)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f'' (3) = 4 {(3)}^{3} - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (3) = 4 \cdot 27 - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $4$ per $27$ .

$f'' (3) = 108 - 12 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f'' (3) = 108 - 12 \cdot 9 - 72 \cdot 3$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $9$ .

$f'' (3) = 108 - 108 - 72 \cdot 3$

Passaggio 8.2.1.5

Moltiplica $- 72$ per $3$ .

$f'' (3) = 108 - 108 - 216$

Passaggio 8.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $108$ da $108$ .

$f'' (3) = 0 - 216$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $216$ da $0$ .

$f'' (3) = - 216$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 216$ .

$- 216$

Passaggio 8.3

Per $3$ , la derivata seconda è $- 216$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0, 6)$ .

Decrescente su $(0, 6)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(6, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6.1$ nell'espressione.

$f'' (6.1) = 4 {(6.1)}^{3} - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Eleva $6.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (6.1) = 4 \cdot 226.981 - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $4$ per $226.981$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 12 {(6.1)}^{2} - 72 \cdot 6.1$

Passaggio 9.2.1.3

Eleva $6.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 12 \cdot 37.21 - 72 \cdot 6.1$

Passaggio 9.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $37.21$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 446.52 - 72 \cdot 6.1$

Passaggio 9.2.1.5

Moltiplica $- 72$ per $6.1$ .

$f'' (6.1) = 907.924 - 446.52 - 439.2$

Passaggio 9.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Sottrai $446.52$ da $907.924$ .

$f'' (6.1) = 461.404 - 439.2$

Passaggio 9.2.2.2

Sottrai $439.2$ da $461.404$ .

$f'' (6.1) = 22.204$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $22.204$ .

$22.204$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $6.1$ , la derivata seconda è $22.204$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(6, \infty)$ .

Crescente su $(6, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 10

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 3, \frac{972}{5}), (0, 0), (6, - \frac{11664}{5})$ .

$(- 3, \frac{972}{5}), (0, 0), (6, - \frac{11664}{5})$

Passaggio 11