Calcolo Esempi

$\int 8^{2 y^{3} - 3 y^{2}} (y^{2} - y) d y$

Passaggio 1

Sia $u = 2 y^{3} - 3 y^{2}$ . Allora $d u = (6 y^{2} - 6 y) d y$ , quindi $\frac{1}{6} d u = (y^{2} - y) d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 2 y^{3} - 3 y^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 y^{3} - 3 y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{3} - 3 y^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 y^{3} - 3 y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y^{3}$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 y^{2} + \frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [- 3 y^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 3 y^{2}$ rispetto a $y$ è $- 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$6 y^{2} - 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 y^{2} - 3 (2 y)$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$6 y^{2} - 6 y$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 8^{u} \frac{1}{6} d u$

Passaggio 2

$8^{u}$ e $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{8^{u}}{6} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} \int 8^{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $8^{u}$ rispetto a $u$ è $\frac{8^{u}}{\ln (8)}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{8^{u}}{\ln (8)} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $\frac{1}{6} (\frac{8^{u}}{\ln (8)} + C)$ come $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\ln (8)} \cdot 8^{u} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\ln (8)} \cdot 8^{u} + C$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{1}{\ln (8)}$ .

$\frac{1}{6 \ln (8)} \cdot 8^{u} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 y^{3} - 3 y^{2}$ .

$\frac{1}{6 \ln (8)} \cdot 8^{2 y^{3} - 3 y^{2}} + C$