Calcolo Esempi

$\int_{1}^{2} 2 x \sqrt{4 + x^{2}} d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{1}^{2} x \sqrt{4 + x^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 4 + x^{2}$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 4 + x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $4 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Passaggio 2.1.5

Somma $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 4 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 1^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{lower} = 4 + 1$

Passaggio 2.3.2

Somma $4$ e $1$ .

$u_{lower} = 5$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 4 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 2^{2}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 4 + 4$

Passaggio 2.5.2

Somma $4$ e $4$ .

$u_{upper} = 8$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 8$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{5}^{8} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 3

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{5}^{8} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u)$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

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Passaggio 5.1.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $\int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$ per $1$ .

$\int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{5}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{5}^{8}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $8$ e per $5$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

$\frac{2}{3}$ e $8^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 7.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $3 (\frac{3}{2})$ .

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Passaggio 7.2.3.2.1

$3$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.3.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.7

Somma $2$ e $9$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7.2.8

$5^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$

Passaggio 7.2.9

Sposta $2$ alla sinistra di $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

Forma decimale:

$7.63138474 \dots$

Passaggio 9