Calcolo Esempi

$2 x y^{3} - x^{3} = y^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (2 x y^{3} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x y^{3} - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{3}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.2.6

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$2 (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $y^{3}$ per $1$ .

$2 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 (3 x y^{2} y' + y^{3}) - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x y^{2} y' + y^{3}) - (3 x^{2})$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$2 (3 x y^{2} y' + y^{3}) - 3 x^{2}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (3 x y^{2} y') + 2 y^{3} - 3 x^{2}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x y^{2} y' + 2 y^{3} - 3 x^{2}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$2 y^{3} - 3 x^{2} + 6 y^{2} x y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y^{3} - 3 x^{2} + 6 y^{2} x y' = 2 y y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $2 y y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y^{3} - 3 x^{2} + 6 y^{2} x y' - 2 y y' = 0$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $2 y^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x^{2} + 6 y^{2} x y' - 2 y y' = - 2 y^{3}$

Passaggio 5.2.2

Somma $3 x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 y^{2} x y' - 2 y y' = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$

Passaggio 5.3

Scomponi $2 y y'$ da $6 y^{2} x y' - 2 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $2 y y'$ da $6 y^{2} x y'$ .

$2 y y' (3 y x) - 2 y y' = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $2 y y'$ da $- 2 y y'$ .

$2 y y' (3 y x) + 2 y y' \cdot - 1 = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $2 y y'$ da $2 y y' (3 y x) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (3 y x - 1) = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$

Passaggio 5.4

Dividi per $2 y (3 y x - 1)$ ciascun termine in $2 y y' (3 y x - 1) = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $2 y (3 y x - 1)$ ciascun termine in $2 y y' (3 y x - 1) = - 2 y^{3} + 3 x^{2}$ .

$\frac{2 y y' (3 y x - 1)}{2 y (3 y x - 1)} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y y' (3 y x - 1)}{2 y (3 y x - 1)} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (3 y x - 1)}{y (3 y x - 1)} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (3 y x - 1)}{y (3 y x - 1)} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (3 y x - 1)}{3 y x - 1} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.2.3

Elimina il fattore comune di $3 y x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (3 y x - 1)}{3 y x - 1} = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 y^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (3 y x - 1)$ .

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{2 (y (3 y x - 1))} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{2 (y (3 y x - 1))} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y^{3}}{y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.1

Scomponi $y$ da $- y^{3}$ .

$y' = \frac{y (- y^{2})}{y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y (- y^{2})}{y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y^{2}}{3 y x - 1} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2}}{3 y x - 1} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.2

Per scrivere $- \frac{y^{2}}{3 y x - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 y}{2 y}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{3 y x - 1} \cdot \frac{2 y}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(3 y x - 1) \cdot 2 y$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1

Moltiplica $\frac{y^{2}}{3 y x - 1}$ per $\frac{2 y}{2 y}$ .

$y' = - \frac{y^{2} (2 y)}{(3 y x - 1) (2 y)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.3.2

Riordina i fattori di $(3 y x - 1) (2 y)$ .

$y' = - \frac{y^{2} (2 y)}{2 y (3 y x - 1)} + \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- y^{2} (2 y) + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y' = \frac{- 1 \cdot 2 y^{2} y + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.5.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.2.1

Sposta $y$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot 2 (y \cdot y^{2}) + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.5.2.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.5.2.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot 2 (y^{1} y^{2}) + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.5.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{- 1 \cdot 2 y^{1 + 2} + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.5.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$y' = \frac{- 1 \cdot 2 y^{3} + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y' = \frac{- 2 y^{3} + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.6

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.6.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 y^{3}$ .

$y' = \frac{- (2 y^{3}) + 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.6.2

Scomponi $- 1$ da $3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (2 y^{3}) - (- 3 x^{2})}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.6.3

Scomponi $- 1$ da $- (2 y^{3}) - (- 3 x^{2})$ .

$y' = \frac{- (2 y^{3} - 3 x^{2})}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.6.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.6.4.1

Riscrivi $- (2 y^{3} - 3 x^{2})$ come $- 1 (2 y^{3} - 3 x^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (2 y^{3} - 3 x^{2})}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 5.4.3.6.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 y^{3} - 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{3} - 3 x^{2}}{2 y (3 y x - 1)}$