Calcolo Esempi

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + 4 x^{3} - 36 x^{2}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{6} x^{4} + 4 x^{3} - 36 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $- \frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{6} x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{6}) x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2.4

$- 4$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2.5

$\frac{- 4}{6}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2.6

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.6.1

Scomponi $2$ da $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 12 x^{2} - 36 (2 x)$

Passaggio 1.1.1.4.3

Moltiplica $2$ per $- 36$ .

$f' (x) = - \frac{2 x^{3}}{3} + 12 x^{2} - 72 x$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{2 x^{3}}{3} + 12 x^{2} - 72 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Poiché $- \frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2 x^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Passaggio 1.1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Passaggio 1.1.2.2.4

$- 3$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Passaggio 1.1.2.2.5

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Passaggio 1.1.2.2.6

$\frac{- 6}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Passaggio 1.1.2.2.7

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.7.1

Scomponi $3$ da $- 6 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Passaggio 1.1.2.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.7.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Passaggio 1.1.2.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Passaggio 1.1.2.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Passaggio 1.1.2.2.7.2.4

Dividi $- 2 x^{2}$ per $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Passaggio 1.1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Passaggio 1.1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$- 2 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Poiché $- 72$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 72 x$ rispetto a $x$ è $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x^{2} + 24 x - 72 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + 24 x - 72 \cdot 1$

Passaggio 1.1.2.4.3

Moltiplica $- 72$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{2} + 24 x - 72$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 x^{2} + 24 x - 72$ .

$- 2 x^{2} + 24 x - 72$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 2 x^{2} + 24 x - 72 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 2 x^{2} + 24 x - 72 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 x^{2} + 24 x - 72$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 24 x - 72 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $- 2$ da $24 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 12 x) - 72 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $- 2$ da $- 72$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 12 x) - 2 \cdot 36 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.4

Scomponi $- 2$ da $- 2 (x^{2}) - 2 (- 12 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 12 x) - 2 \cdot 36 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.5

Scomponi $- 2$ da $- 2 (x^{2} - 12 x) - 2 (36)$ .

$- 2 (x^{2} - 12 x + 36) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$- 2 (x^{2} - 12 x + 6^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Passaggio 1.2.2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$- 2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 6$ .

$- 2 {(x - 6)}^{2} = 0$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 {(x - 6)}^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 {(x - 6)}^{2} = 0$ .

$\frac{- 2 {(x - 6)}^{2}}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 {(x - 6)}^{2}}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi ${(x - 6)}^{2}$ per $1$ .

${(x - 6)}^{2} = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Dividi $0$ per $- 2$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Passaggio 1.2.4

Poni $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 1.2.5

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, 6)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - 2 {(0)}^{2} + 24 (0) - 72$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 0 + 24 (0) - 72$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 + 24 (0) - 72$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $24$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 - 72$

Passaggio 4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f'' (0) = 0 - 72$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $72$ da $0$ .

$f'' (0) = - 72$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $- 72$ .

$- 72$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, 6)$ perché $f'' (0)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, 6)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(6, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $8$ nell'espressione.

$f'' (8) = - 2 {(8)}^{2} + 24 (8) - 72$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$f'' (8) = - 2 \cdot 64 + 24 (8) - 72$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $64$ .

$f'' (8) = - 128 + 24 (8) - 72$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $24$ per $8$ .

$f'' (8) = - 128 + 192 - 72$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $- 128$ e $192$ .

$f'' (8) = 64 - 72$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $72$ da $64$ .

$f'' (8) = - 8$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 8$ .

$- 8$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(6, \infty)$ perché $f'' (8)$ è negativo.

Funzione concava su $(6, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, 6)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione concava su $(6, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7