Calcolo Esempi

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 1}$ come ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 1.3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ come ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Passaggio 1.3.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Passaggio 1.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 7.2

${(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 7.3

Sposta ${(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 7.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 7.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} (1 + 0)$

Passaggio 11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 11.1

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 11.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$