Calcolo Esempi

$\int \frac{{(2 x - 5)}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(2 x - 5)}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 1.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(2 x - 5)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(2 x - 5)}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 1.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int {(2 x - 5)}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 1.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int {(2 x - 5)}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = 2 x - 5$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = 2 x - 5$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $2 x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int {u_{1}}^{2} {(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{2}$ e ${u_{1}}^{2}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2}}{2} {(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Passaggio 3.2

$\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ e ${(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2} {(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.3

Sposta ${(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{2}}{2 {(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{1}}^{2}}{{(\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2})}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Passaggio 5

Sia $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2}$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , quindi $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2}]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{u_{1}}{2} + \frac{5}{2}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{2}]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $\frac{u_{1}}{2}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{2}]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{2}]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [\frac{5}{2}]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $\frac{5}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $\frac{5}{2}$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} (1 \cdot 2) d u_{2}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 d u_{2}$

Passaggio 6.3

$\frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}$ e $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2} \cdot 2}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 6.4

Sposta $2$ alla sinistra di ${(2 u_{2} - 5)}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{2 {(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (2 \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2})$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 8.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 8.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica $\int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$ per $1$ .

$\int \frac{{(2 u_{2} - 5)}^{2}}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Passaggio 8.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Sposta ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(2 u_{2} - 5)}^{2} {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(2 u_{2} - 5)}^{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Passaggio 8.2.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int {(2 u_{2} - 5)}^{2} {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 8.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int {(2 u_{2} - 5)}^{2} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi ${(2 u_{2} - 5)}^{2}$ come $(2 u_{2} - 5) (2 u_{2} - 5)$ .

$\int (2 u_{2} - 5) (2 u_{2} - 5) {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Passaggio 9.2