Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{6 x e^{- 3 x + 9}}{6 x^{2} + x}$

Passaggio 1

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9}}{6 x^{2} + x}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$6 \frac{lim_{x \to 0} x e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Passaggio 2.1.2.2

Sposta il limite nell'esponente.

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} - 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Passaggio 2.1.2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{- lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Passaggio 2.1.2.4

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Passaggio 2.1.2.5

Calcola il limite di $9$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Passaggio 2.1.2.6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Passaggio 2.1.2.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Passaggio 2.1.2.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{0 + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Passaggio 2.1.2.7.2

Somma $0$ e $9$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Passaggio 2.1.2.7.3

Moltiplica $0$ per $e^{9}$ .

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.3.2

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$6 \frac{0}{6 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.3.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$6 \frac{0}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.3.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$6 \frac{0}{6 \cdot 0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.3.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$6 \frac{0}{6 \cdot 0^{2} + 0}$

Passaggio 2.1.3.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$6 \frac{0}{6 \cdot 0 + 0}$

Passaggio 2.1.3.5.1.2

Moltiplica $6$ per $0$ .

$6 \frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 2.1.3.5.2

Somma $0$ e $0$ .

$6 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.3.5.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$6 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.3.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$6 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$6 (\frac{0}{0})$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9}}{6 x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{- 3 x + 9}]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$6 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{- 3 x + 9}]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 3 x + 9}$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x + 9}] + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 x + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 3 x + 9$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x + 9] + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x + 9] + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 3 x + 9$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [- 3 x + 9] + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [9]) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (- 3 + \frac{d}{d x} [9]) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Passaggio 2.3.8

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (- 3 + 0) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Passaggio 2.3.9

Somma $- 3$ e $0$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} \cdot - 3 + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Passaggio 2.3.10

Sposta $- 3$ alla sinistra di $e^{- 3 x + 9}$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 3 \cdot e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Passaggio 2.3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 3 e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Passaggio 2.3.12

Moltiplica $e^{- 3 x + 9}$ per $1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 3 e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Passaggio 2.3.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.1

Riordina i termini.

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 e^{- 3 x + 9} x + e^{- 3 x + 9}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Passaggio 2.3.13.2

Riordina i fattori in $- 3 e^{- 3 x + 9} x + e^{- 3 x + 9}$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

Passaggio 2.3.14

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.15

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.15.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.15.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{6 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.15.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{12 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.16

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{12 x + 1}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$6 \frac{lim_{x \to 0} - 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Passaggio 3.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$6 \frac{- lim_{x \to 0} 3 x e^{- 3 x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Passaggio 3.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x e^{- 3 x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Passaggio 3.4

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Passaggio 3.5

Sposta il limite nell'esponente.

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} - 3 x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Passaggio 3.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Passaggio 3.7

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Passaggio 3.8

Calcola il limite di $9$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Passaggio 3.9

Sposta il limite nell'esponente.

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{lim_{x \to 0} - 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Passaggio 3.10

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Passaggio 3.11

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Passaggio 3.12

Calcola il limite di $9$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

Passaggio 3.13

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 3.14

Sposta il termine $12$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 3.15

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + 1}$

Passaggio 4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$6 \frac{- 3 \cdot 0 \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + 1}$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$6 \frac{- 3 \cdot 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + 1}$

Passaggio 4.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$6 \frac{- 3 \cdot 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + 1}$

Passaggio 4.4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$6 \frac{- 3 \cdot 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{0 + 9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 5.1.3

Somma $0$ e $9$ .

$6 \frac{0 \cdot e^{9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $0$ per $e^{9}$ .

$6 \frac{0 + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 5.1.5

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$6 \frac{0 + e^{0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 5.1.6

Somma $0$ e $9$ .

$6 \frac{0 + e^{9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 5.1.7

Somma $0$ e $e^{9}$ .

$6 \frac{e^{9}}{12 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 5.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $12$ per $0$ .

$6 \frac{e^{9}}{0 + 1}$

Passaggio 5.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$6 \frac{e^{9}}{1}$

Passaggio 5.3

Dividi $e^{9}$ per $1$ .

$6 e^{9}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$6 e^{9}$

Forma decimale:

$48618.50356545 \dots$