Calcolo Esempi

$\int \frac{2 x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = 5 x^{3} + 1$ . Allora $d u_{1} = 15 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{15} d u_{1} = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = 5 x^{3} + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $5 x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3} + 1]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{3} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$15 x^{2} + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $15 x^{2}$ e $0$ .

$15 x^{2}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{15} d u_{1}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}}$ per $\frac{1}{15}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{(3 - e^{u_{1}}) \cdot 15} d u_{1}$

Passaggio 3.2

Sposta $15$ alla sinistra di $3 - e^{u_{1}}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{15 (3 - e^{u_{1}})} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{15}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{15}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1})$

Passaggio 5

$\frac{1}{15}$ e $2$ .

$\frac{2}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1}$

Passaggio 6

Sia $u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ . Allora $d u_{2} = - e^{u_{1}} d u_{1}$ , quindi $- \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $3 - e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3 - e^{u_{1}}]$

Passaggio 6.1.2

Differenzia.

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Passaggio 6.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

Passaggio 6.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $3$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

Passaggio 6.1.3

Calcola $\frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ .

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Passaggio 6.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $- e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $- \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Passaggio 6.1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$0 - e^{u_{1}}$

Passaggio 6.1.4

Sottrai $e^{u_{1}}$ da $0$ .

$- e^{u_{1}}$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{2}{15} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{15} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{15} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{2}{15} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$\frac{2}{15} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

Passaggio 10.2

$\frac{2}{15}$ e $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{2 \ln (| u_{2} |)}{15} + C$

Passaggio 11

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 - e^{u_{1}}$ .

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{u_{1}} |)}{15} + C$

Passaggio 11.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $5 x^{3} + 1$ .

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |)}{15} + C$

Passaggio 12

Riordina i termini.

$- \frac{2}{15} \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |) + C$