Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{3}{x}$ , $[1, 7]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f (x)$ è continua su $[1, 7]$ o no, calcola il dominio di $f (x) = \frac{3}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta il denominatore in $\frac{3}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 1.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[1, 7]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (\int_{1}^{7} \frac{3}{x} d x)$

Passaggio 5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \int_{1}^{7} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| x |)]_{1}^{7}))$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Calcola $\ln (| x |)$ per $7$ e per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |)))$

Passaggio 7.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{| 7 |}{| 1 |}))$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $7$ è $7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{| 1 |}))$

Passaggio 7.3.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{1}))$

Passaggio 7.3.3

Dividi $7$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (7))$

Passaggio 8

Sottrai $1$ da $7$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (3 \ln (7))$

Passaggio 9

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 \ln (7))$

Passaggio 9.2

Scomponi $3$ da $3 \ln (7)$ .

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 (\ln (7)))$

Passaggio 9.3

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \ln (7))$

Passaggio 9.4

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (7)$

Passaggio 10

Semplifica $\frac{1}{2} \cdot \ln (7)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$A (x) = \ln (7^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 11