Calcolo Esempi

$y = 3 x - x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 - (3 x^{2})$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$3 - 3 x^{2}$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$- 3 x^{2} + 3$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $- 6 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 6 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 3 x^{2} + 3 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 - (3 x^{2})$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$3 - 3 x^{2}$

Passaggio 4.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 3$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{2} + 3$ .

$- 3 x^{2} + 3$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x^{2} + 3 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x^{2} + 3 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x^{2} = - 3$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{2} = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{2} = - 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{- 3}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $- 3$ per $- 3$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 5.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 5.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 5.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 5.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 5.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 1, - 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 6 \cdot 1$

Passaggio 9

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$- 6$

Passaggio 10

$x = 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 3 (1) - {(1)}^{3}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1) = 3 - {(1)}^{3}$

Passaggio 11.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 3 - 1 \cdot 1$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = 3 - 1$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$f (1) = 2$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 6 \cdot - 1$

Passaggio 13

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$6$

Passaggio 14

$x = - 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 3 (- 1) - {(- 1)}^{3}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 - {(- 1)}^{3}$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- 1) = - 3 + (- 1) {(- 1)}^{3}$

Passaggio 15.2.1.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 1) = - 3 + {(- 1)}^{1 + 3}$

Passaggio 15.2.1.2.2

Somma $1$ e $3$ .

$f (- 1) = - 3 + {(- 1)}^{4}$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- 1) = - 3 + 1$

Passaggio 15.2.2

Somma $- 3$ e $1$ .

$f (- 1) = - 2$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$y = - 2$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 3 x - x^{3}$ .

$(1, 2)$ è un massimo locale

$(- 1, - 2)$ è un minimo locale

Passaggio 17