Calcolo Esempi

$y = x + 3 \ln (5 x) - 4 x^{2} + e^{2 x} - π$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + 3 \ln (5 x) - 4 x^{2} + e^{2 x} - π)$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia.

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Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3 \ln (5 x) - 4 x^{2} + e^{2 x} - π$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 \ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \ln (5 x)]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \ln (5 x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $5 x$ .

$1 + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.2.2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $5 x$ .

$1 + 3 (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.2.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + 3 (\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{5 x} (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{5 x} \cdot 5) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.2.6

$\frac{1}{5 x}$ e $5$ .

$1 + 3 \frac{5}{5 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.2.7

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 3.2.7.1

Elimina il fattore comune.

$1 + 3 \frac{5}{5 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.2.7.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + 3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.2.8

$3$ e $\frac{1}{x}$ .

$1 + \frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 + \frac{3}{x} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$1 + \frac{3}{x} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Passaggio 3.4.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 3.4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.4.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.4.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.4.5

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + 2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- π]$

Passaggio 3.5

Poiché $- π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + 2 e^{2 x} + 0$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Somma $1 + \frac{3}{x} - 8 x + 2 e^{2 x}$ e $0$ .

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + 2 e^{2 x}$

Passaggio 3.6.2

Riordina i termini.

$- 8 x + \frac{3}{x} + 2 e^{2 x} + 1$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - 8 x + \frac{3}{x} + 2 e^{2 x} + 1$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 8 x + \frac{3}{x} + 2 e^{2 x} + 1$