Calcolo Esempi

$y = {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(5 x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{\frac{1}{3}}$ e $g (y) = 5 x - 1$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x - 1$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Passaggio 3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Passaggio 3.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Passaggio 3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Passaggio 3.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} {(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Passaggio 3.6.2

$\frac{1}{3}$ e ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Passaggio 3.6.3

Sposta ${(5 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d y} [5 x - 1]$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d y} [5 x] + \frac{d}{d y} [- 1])$

Passaggio 3.8

Poiché $5$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $y$ è $5 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1])$

Passaggio 3.9

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x' + \frac{d}{d y} [- 1])$

Passaggio 3.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x' + 0)$

Passaggio 3.11

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.11.1

Somma $5 x'$ e $0$ .

$\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (5 x')$

Passaggio 3.11.2

$5$ e $\frac{1}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} x'$

Passaggio 3.11.3

$\frac{5}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x'$ .

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 1$ .

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 1$

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni lato per $3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}) = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.1.1

Semplifica $\frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$ .

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Passaggio 5.3.1.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 5.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{5 x'}{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 5.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 x'}{{(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 5.3.1.1.3

Elimina il fattore comune di ${(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Passaggio 5.3.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x'}{{(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 5.3.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$5 x' = 1 (3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.2.1

Moltiplica $3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ per $1$ .

$5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 5.4

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x' = 3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{5 x'}{5} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x'}{5} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 {(5 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{5}$