Calcolo Esempi

$\frac{2 x}{e^{2 x}}$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{e^{2 x}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{2 x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{2 x}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{2 x}$ .

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(e^{2 x})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{2 x})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{2 x \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{e^{2 x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $e^{2 x}$ per $1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{4 x}}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{4 x}}$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x (e^{2 x} \cdot 1)}{e^{4 x}}$

Passaggio 5.4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.4.1

Moltiplica $e^{2 x}$ per $1$ .

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Passaggio 5.4.2

$2$ e $\frac{e^{2 x} - 2 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$ .

$\frac{2 (e^{2 x} - 2 x e^{2 x})}{e^{4 x}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 e^{2 x} + 2 (- 2 x e^{2 x})}{e^{4 x}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{2 e^{2 x} - 4 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Passaggio 6.3

Riordina i termini.

$\frac{- 4 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Passaggio 6.4

Scomponi $2 e^{2 x}$ da $- 4 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}$ .

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Passaggio 6.4.1

Scomponi $2 e^{2 x}$ da $- 4 e^{2 x} x$ .

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x}}{e^{4 x}}$

Passaggio 6.4.2

Scomponi $2 e^{2 x}$ da $2 e^{2 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x} (1)}{e^{4 x}}$

Passaggio 6.4.3

Scomponi $2 e^{2 x}$ da $2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x} (1)$ .

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x + 1)}{e^{4 x}}$

Passaggio 6.5

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ e $e^{4 x}$ .

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Passaggio 6.5.1

Scomponi $e^{4 x}$ da $2 e^{2 x} (- 2 x + 1)$ .

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x}}$

Passaggio 6.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.5.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x} \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x} \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)}{1}$

Passaggio 6.5.2.4

Dividi $2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)$ per $1$ .

$2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)$

Passaggio 6.6

Applica la proprietà distributiva.

$2 e^{- 2 x} (- 2 x) + 2 e^{- 2 x} \cdot 1$

Passaggio 6.7

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x} \cdot 1$

Passaggio 6.8

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$

Passaggio 6.9

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 4 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$

Passaggio 6.10

Riordina i fattori in $- 4 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$ .

$- 4 x e^{- 2 x} + 2 e^{- 2 x}$