Calcolo Esempi

$\sum_{i = 1}^{50} (5 i - 2) (i + 3)$

Passaggio 1

Semplifica la sommatoria.

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Passaggio 1.1

Espandi $(5 i - 2) (i + 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 i (i + 3) - 2 (i + 3)$

Passaggio 1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 i \cdot i + 5 i \cdot 3 - 2 (i + 3)$

Passaggio 1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 i \cdot i + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

Passaggio 1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.1.1

Moltiplica $i$ per $i$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1.1.1

Sposta $i$ .

$5 (i \cdot i) + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

Passaggio 1.2.1.1.2

Moltiplica $i$ per $i$ .

$5 i^{2} + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

Passaggio 1.2.1.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$5 i^{2} + 15 i - 2 i - 2 \cdot 3$

Passaggio 1.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$5 i^{2} + 15 i - 2 i - 6$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $2 i$ da $15 i$ .

$5 i^{2} + 13 i - 6$

Passaggio 1.3

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{i = 1}^{50} 5 i^{2} + 13 i - 6$

Passaggio 2

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{i = 1}^{50} 5 i^{2} + 13 i - 6 = 5 \sum_{i = 1}^{50} i^{2} + 13 \sum_{i = 1}^{50} i + \sum_{i = 1}^{50} - 6$

Passaggio 3

Calcola $5 \sum_{i = 1}^{50} i^{2}$ .

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Passaggio 3.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $2$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(5) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1.1

Somma $50$ e $1$ .

$5 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Passaggio 3.3.1.2

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.2.1

Moltiplica $50$ per $51$ .

$5 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $50$ .

$5 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

Passaggio 3.3.1.3

Somma $100$ e $1$ .

$5 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $2550$ per $101$ .

$5 (\frac{257550}{6})$

Passaggio 3.3.2.2

Dividi $257550$ per $6$ .

$5 \cdot 42925$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica $5$ per $42925$ .

$214625$

Passaggio 4

Calcola $13 \sum_{i = 1}^{50} i$ .

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Passaggio 4.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $1$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(13) (\frac{50 (50 + 1)}{2})$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Somma $50$ e $1$ .

$13 \frac{50 \cdot 51}{2}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $50$ per $51$ .

$13 (\frac{2550}{2})$

Passaggio 4.3.3

Dividi $2550$ per $2$ .

$13 \cdot 1275$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $13$ per $1275$ .

$16575$

Passaggio 5

Calcola $\sum_{i = 1}^{50} - 6$ .

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Passaggio 5.1

La formula per la sommatoria di una costante è:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori nella formula.

$(- 6) (50)$

Passaggio 5.3

Moltiplica $- 6$ per $50$ .

$- 300$

Passaggio 6

Somma i risultati delle sommatorie.

$214625 + 16575 - 300$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Somma $214625$ e $16575$ .

$231200 - 300$

Passaggio 7.2

Sottrai $300$ da $231200$ .

$230900$