Calcolo Esempi

$lim_{x \to 9} \frac{2 x^{2} - 162}{x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 9} 2 x^{2} - 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} 2 x^{2} - lim_{x \to 9} 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 9} x^{2} - lim_{x \to 9} 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{2 {(lim_{x \to 9} x)}^{2} - lim_{x \to 9} 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Calcola il limite di $162$ che è costante, mentre $x$ tende a $9$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 9} x)}^{2} - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot 9^{2} - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$\frac{2 \cdot 81 - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $81$ .

$\frac{162 - 1 \cdot 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $162$ .

$\frac{162 - 162}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $162$ da $162$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{x} - 18}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + lim_{x \to 9} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 9} 18}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 lim_{x \to 9} \sqrt{x} - lim_{x \to 9} 18}$

Passaggio 1.1.3.3

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{lim_{x \to 9} x} - lim_{x \to 9} 18}$

Passaggio 1.1.3.4

Calcola il limite di $18$ che è costante, mentre $x$ tende a $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x + 3 \sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 18}$

Passaggio 1.1.3.5

Calcola il limite inserendo $9$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$\frac{0}{9 + 3 \sqrt{lim_{x \to 9} x} - 1 \cdot 18}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$\frac{0}{9 + 3 \sqrt{9} - 1 \cdot 18}$

Passaggio 1.1.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{0}{9 + 3 \sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 18}$

Passaggio 1.1.3.6.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{0}{9 + 3 \cdot 3 - 1 \cdot 18}$

Passaggio 1.1.3.6.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{0}{9 + 9 - 1 \cdot 18}$

Passaggio 1.1.3.6.1.4

Moltiplica $- 1$ per $18$ .

$\frac{0}{9 + 9 - 18}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Somma $9$ e $9$ .

$\frac{0}{18 - 18}$

Passaggio 1.1.3.6.3

Sottrai $18$ da $18$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.6.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 9} \frac{2 x^{2} - 162}{x + 3 \sqrt{x} - 18} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - 162$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 162]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [- 162]}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 162$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 162$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x + 0}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $4 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [x + 3 \sqrt{x} - 18]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3 \sqrt{x} - 18$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Passaggio 1.3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Passaggio 1.3.8.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Passaggio 1.3.8.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Passaggio 1.3.8.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Passaggio 1.3.8.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Passaggio 1.3.8.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Passaggio 1.3.8.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Passaggio 1.3.8.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Passaggio 1.3.8.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Passaggio 1.3.8.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + 3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Passaggio 1.3.8.10

$3$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Passaggio 1.3.8.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 18]}$

Passaggio 1.3.9

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Passaggio 1.3.10

Somma $1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 1.4

Riscrivi $x^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{1 + \frac{3}{2 \sqrt{x}}}$

Passaggio 1.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} + \frac{3}{2 \sqrt{x}}}$

Passaggio 1.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 9} \frac{4 x}{\frac{2 \sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x}}}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$4 lim_{x \to 9} \frac{x}{\frac{2 \sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x}}}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $9$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{lim_{x \to 9} \frac{2 \sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x}}}$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} lim_{x \to 9} \frac{2 \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}}}$

Passaggio 2.4

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $9$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 2 \sqrt{x} + 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

Passaggio 2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $9$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 2 \sqrt{x} + lim_{x \to 9} 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

Passaggio 2.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 9} \sqrt{x} + lim_{x \to 9} 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

Passaggio 2.7

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + lim_{x \to 9} 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

Passaggio 2.8

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $9$ .

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 3}{lim_{x \to 9} \sqrt{x}}}$

Passaggio 2.9

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$4 \frac{lim_{x \to 9} x}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 3}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $9$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{lim_{x \to 9} x} + 3}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} + 3}{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $9$ per $x$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{9} + 3}{\sqrt{9}}}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{3^{2}} + 3}{\sqrt{9}}}$

Passaggio 4.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 3 + 3}{\sqrt{9}}}$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{6 + 3}{\sqrt{9}}}$

Passaggio 4.1.4

Somma $6$ e $3$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{\sqrt{9}}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{\sqrt{3^{2}}}}$

Passaggio 4.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$4 \frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{3}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{9}{3}$ .

$4 \frac{9}{\frac{9}{2 \cdot 3}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$4 \frac{9}{\frac{9}{6}}$

Passaggio 4.5

Elimina il fattore comune di $9$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$4 \frac{9}{\frac{3 (3)}{6}}$

Passaggio 4.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$4 \frac{9}{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}}$

Passaggio 4.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{9}{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2}}$

Passaggio 4.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \frac{9}{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$4 (9 (\frac{2}{3}))$

Passaggio 4.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$4 (3 (3) \frac{2}{3})$

Passaggio 4.7.2

Elimina il fattore comune.

$4 (3 \cdot 3 \frac{2}{3})$

Passaggio 4.7.3

Riscrivi l'espressione.

$4 (3 \cdot 2)$

Passaggio 4.8

Moltiplica $3$ per $2$ .

$4 \cdot 6$

Passaggio 4.9

Moltiplica $4$ per $6$ .

$24$