Calcolo Esempi

$- 4 x - 5 y^{3} + 4 - x^{2} = 0$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (- 4 x - 5 y^{3} + 4 - x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x - 5 y^{3} + 4 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 4 + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 y^{3}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 4 - 5 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$- 4 - 5 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 4 - 5 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$- 4 - 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- 4 - 5 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $3$ per $- 5$ .

$- 4 - 15 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 - 15 y^{2} y' + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 2.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 - 15 y^{2} y' + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 - 15 y^{2} y' + 0 - (2 x)$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 4 - 15 y^{2} y' + 0 - 2 x$

Passaggio 2.6

Semplifica.

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Passaggio 2.6.1

Somma $- 4 - 15 y^{2} y'$ e $0$ .

$- 4 - 15 y^{2} y' - 2 x$

Passaggio 2.6.2

Riordina i termini.

$- 15 y^{2} y' - 2 x - 4$

Passaggio 3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- 15 y^{2} y' - 2 x - 4 = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Somma $2 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 15 y^{2} y' - 4 = 2 x$

Passaggio 5.1.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 15 y^{2} y' = 2 x + 4$

Passaggio 5.2

Dividi per $- 15 y^{2}$ ciascun termine in $- 15 y^{2} y' = 2 x + 4$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $- 15 y^{2}$ ciascun termine in $- 15 y^{2} y' = 2 x + 4$ .

$\frac{- 15 y^{2} y'}{- 15 y^{2}} = \frac{2 x}{- 15 y^{2}} + \frac{4}{- 15 y^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 15$ .

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Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 15 y^{2} y'}{- 15 y^{2}} = \frac{2 x}{- 15 y^{2}} + \frac{4}{- 15 y^{2}}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{- 15 y^{2}} + \frac{4}{- 15 y^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

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Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{- 15 y^{2}} + \frac{4}{- 15 y^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 x}{- 15 y^{2}} + \frac{4}{- 15 y^{2}}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x}{15 y^{2}} + \frac{4}{- 15 y^{2}}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x}{15 y^{2}} - \frac{4}{15 y^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{15 y^{2}} - \frac{4}{15 y^{2}}$