Calcolo Esempi

$\int_{e}^{e^{2}} \ln (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = 1$ .

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} x \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} \frac{x}{x} d x$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} \frac{x}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} d x$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - (x]_{e}^{e^{2}})$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.1

Calcola $\ln (x) x$ per $e^{2}$ e per $e$ .

$(\ln (e^{2}) e^{2}) - \ln (e) e - (x]_{e}^{e^{2}})$

Passaggio 4.2

Calcola $x$ per $e^{2}$ e per $e$ .

$(\ln (e^{2}) e^{2}) - \ln (e) e - ((e^{2}) - e)$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Usa le regole del logaritmo per togliere $2$ dall'esponente.

$2 \ln (e) e^{2} - \ln (e) e - ((e^{2}) - e)$

Passaggio 4.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$2 \cdot 1 e^{2} - \ln (e) e - ((e^{2}) - e)$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 e^{2} - \ln (e) e - (e^{2} - e)$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$2 e^{2} - 1 \cdot 1 e - (e^{2} - e)$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 e^{2} - e - (e^{2} - e)$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 e^{2} - e - e^{2} - - e$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $- - e$ .

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Passaggio 5.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 e^{2} - e - e^{2} + 1 e$

Passaggio 5.1.4.2

Moltiplica $e$ per $1$ .

$2 e^{2} - e - e^{2} + e$

Passaggio 5.2

Sottrai $e^{2}$ da $2 e^{2}$ .

$e^{2} - e + e$

Passaggio 5.3

Somma $- e$ e $e$ .

$e^{2} + 0$

Passaggio 5.4

Somma $e^{2}$ e $0$ .

$e^{2}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$e^{2}$

Forma decimale:

$7.38905609 \dots$