Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} (1 + 4 x + 9 x^{2} + 16 x^{3}) d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int_{0}^{1} 1 + 4 x + 9 x^{2} + 16 x^{3} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} 4 x d x + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 4 x d x + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Passaggio 4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$x]_{0}^{1} + 4 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Passaggio 6

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Passaggio 7

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Passaggio 9

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

Passaggio 10

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , sposta $16$ fuori dall'integrale.

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 \int_{0}^{1} x^{3} d x$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1})$

Passaggio 12

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Passaggio 12.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Calcola $x$ per $1$ e per $0$ .

$(1) + 0 + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Passaggio 12.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $1$ e per $0$ .

$1 + 0 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Passaggio 12.2.3

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $1$ e per $0$ .

$1 + 0 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

Passaggio 12.2.4

Calcola $\frac{x^{4}}{4}$ per $1$ e per $0$ .

$1 + 0 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$1 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.4.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} - 0) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} + 0) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.6

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.7

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{4}{2} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.8

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.8.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.8.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{2}{1} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.8.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$1 + 2 + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.9

Somma $1$ e $2$ .

$3 + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.11

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.12

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.12.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.12.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.12.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} - 0) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.13

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3} + 0) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.14

Somma $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$3 + 9 (\frac{1}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.15

$9$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 + \frac{9}{3} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.16

Elimina il fattore comune di $9$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.16.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$3 + \frac{3 \cdot 3}{3} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.16.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.16.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$3 + \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 + \frac{3}{1} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.16.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$3 + 3 + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.17

Somma $3$ e $3$ .

$6 + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.18

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 12.2.5.19

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4})$

Passaggio 12.2.5.20

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.20.1

Scomponi $4$ da $0$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Passaggio 12.2.5.20.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.20.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Passaggio 12.2.5.20.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Passaggio 12.2.5.20.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1})$

Passaggio 12.2.5.20.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} - 0)$

Passaggio 12.2.5.21

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4} + 0)$

Passaggio 12.2.5.22

Somma $\frac{1}{4}$ e $0$ .

$6 + 16 (\frac{1}{4})$

Passaggio 12.2.5.23

$16$ e $\frac{1}{4}$ .

$6 + \frac{16}{4}$

Passaggio 12.2.5.24

Elimina il fattore comune di $16$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.24.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$6 + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Passaggio 12.2.5.24.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.24.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$6 + \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Passaggio 12.2.5.24.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 + \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.5.24.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 + \frac{4}{1}$

Passaggio 12.2.5.24.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$6 + 4$

Passaggio 12.2.5.25

Somma $6$ e $4$ .

$10$

Passaggio 13