Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{4} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2.3

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2.4

$\frac{4}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2.5.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x^{2}$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 (2 x)$

Passaggio 1.1.1.4.3

Moltiplica $2$ per $24$ .

$f' (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 12 x^{2} + 48 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Passaggio 1.1.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x]$

Passaggio 1.1.2.2.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [48 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

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Passaggio 1.1.2.3.1

Poiché $48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $48 x$ rispetto a $x$ è $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 \cdot 1$

Passaggio 1.1.2.3.3

Moltiplica $48$ per $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 24 x + 48$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} + 24 x + 48$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} + 24 x + 48 = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 24 x + 48$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 24 x + 48 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $3$ da $24 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (8 x) + 48 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $3$ da $48$ .

$3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.4

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 (8 x)$ .

$3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 16 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 16$ .

$3 (x^{2} + 8 x + 16) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.2.2.2.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$3 (x^{2} + 8 x + 4^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Passaggio 1.2.2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 4$ .

$3 {(x + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 {(x + 4)}^{2} = 0$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 {(x + 4)}^{2} = 0$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi ${(x + 4)}^{2}$ per $1$ .

${(x + 4)}^{2} = \frac{0}{3}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 1.2.4

Poni $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 1.2.5

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 4)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f'' (- 6) = 3 {(- 6)}^{2} + 24 (- 6) + 48$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 6) = 3 \cdot 36 + 24 (- 6) + 48$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $3$ per $36$ .

$f'' (- 6) = 108 + 24 (- 6) + 48$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $24$ per $- 6$ .

$f'' (- 6) = 108 - 144 + 48$

Passaggio 4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $144$ da $108$ .

$f'' (- 6) = - 36 + 48$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $- 36$ e $48$ .

$f'' (- 6) = 12$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $12$ .

$12$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, - 4)$ perché $f'' (- 6)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, - 4)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 4, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = 3 {(0)}^{2} + 24 (0) + 48$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 3 \cdot 0 + 24 (0) + 48$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 + 24 (0) + 48$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $24$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 48$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

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Passaggio 5.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f'' (0) = 0 + 48$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $0$ e $48$ .

$f'' (0) = 48$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $48$ .

$48$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- 4, \infty)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- 4, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, - 4)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione convessa su $(- 4, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7