Calcolo Esempi

$f (x) = - \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int - \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}} d x$

Passaggio 4

Sia $u = 6 x + 1$ . Allora $d u = 6 d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = 6 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $6 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 1]$

Passaggio 4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 4.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $6$ e $0$ .

$6$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{2}}$ per $\frac{1}{6}$ .

$- \int \frac{1}{u^{2} \cdot 6} d u$

Passaggio 5.2

Sposta $6$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$- \int \frac{1}{6 u^{2}} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Passaggio 7

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 7.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{6} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 7.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{6} \int u^{- 2} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{6} (- u^{- 1} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi $- \frac{1}{6} (- u^{- 1} + C)$ come $- \frac{1}{6} (- \frac{1}{u}) + C$ .

$- \frac{1}{6} (- \frac{1}{u}) + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{u} + C$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{u} + C$

Passaggio 9.2.3

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{6 u} + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x + 1$ .

$\frac{1}{6 (6 x + 1)} + C$

Passaggio 11

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = - \frac{1}{{(6 x + 1)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{6 (6 x + 1)} + C$