Calcolo Esempi

$\frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{6}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{6} x^{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{1}{6} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.3

$6$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6}{6} x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.4

$\frac{6}{6}$ e $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.5

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.5.2

Dividi $x^{5}$ per $1$ .

$x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$x^{5} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Passaggio 2.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{5} + 5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x^{5} + 5 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

Passaggio 2.1.4.3

Moltiplica $4$ per $- 5$ .

$f' (x) = x^{5} + 5 x^{4} - 20 x^{3}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} + 5 x^{4} - 20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $- 20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 20 (3 x^{2})$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 20$ .

$f'' (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $5 x^{2}$ da $5 x^{4} + 20 x^{3} - 60 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $5 x^{2}$ da $5 x^{4}$ .

$5 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $5 x^{2}$ da $20 x^{3}$ .

$5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x) - 60 x^{2} = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi $5 x^{2}$ da $- 60 x^{2}$ .

$5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x) + 5 x^{2} (- 12) = 0$

Passaggio 3.2.1.4

Scomponi $5 x^{2}$ da $5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (4 x)$ .

$5 x^{2} (x^{2} + 4 x) + 5 x^{2} (- 12) = 0$

Passaggio 3.2.1.5

Scomponi $5 x^{2}$ da $5 x^{2} (x^{2} + 4 x) + 5 x^{2} (- 12)$ .

$5 x^{2} (x^{2} + 4 x - 12) = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x^{2} + 4 x - 12$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $4$ .

$- 2, 6$

Passaggio 3.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$5 x^{2} ((x - 2) (x + 6)) = 0$

Passaggio 3.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$5 x^{2} (x - 2) (x + 6) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 3.6

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Imposta $x + 6$ uguale a $0$ .

$x + 6 = 0$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $5 x^{2} (x - 2) (x + 6) = 0$ vera.

$x = 0, 2, - 6$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{1}{6} \cdot {(0)}^{6} + {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{1}{6} \cdot 0 + {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 5 {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 5 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $2$ in $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{1}{6} \cdot {(2)}^{6} + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

$f (2) = \frac{1}{6} \cdot 64 + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (2) = \frac{1}{2 (3)} \cdot 64 + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.2.2

Scomponi $2$ da $64$ .

$f (2) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (2) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 32) + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot 32 + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.3

$\frac{1}{3}$ e $32$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + {(2)}^{5} - 5 {(2)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + 32 - 5 {(2)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + 32 - 5 \cdot 16$

Passaggio 4.3.2.1.6

Moltiplica $- 5$ per $16$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + 32 - 80$

Passaggio 4.3.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Scrivi $32$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32}{1} - 80$

Passaggio 4.3.2.2.2

Moltiplica $\frac{32}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32}{1} \cdot \frac{3}{3} - 80$

Passaggio 4.3.2.2.3

Moltiplica $\frac{32}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} - 80$

Passaggio 4.3.2.2.4

Scrivi $- 80$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 80}{1}$

Passaggio 4.3.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 80}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 80}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.3.2.2.6

Moltiplica $\frac{- 80}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{- 80 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (2) = \frac{32 + 32 \cdot 3 - 80 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.3.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Moltiplica $32$ per $3$ .

$f (2) = \frac{32 + 96 - 80 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.3.2.4.2

Moltiplica $- 80$ per $3$ .

$f (2) = \frac{32 + 96 - 240}{3}$

Passaggio 4.3.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Somma $32$ e $96$ .

$f (2) = \frac{128 - 240}{3}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Sottrai $240$ da $128$ .

$f (2) = \frac{- 112}{3}$

Passaggio 4.3.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (2) = - \frac{112}{3}$

Passaggio 4.3.2.6

La risposta finale è $- \frac{112}{3}$ .

$- \frac{112}{3}$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $2$ in $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ è $(2, - \frac{112}{3})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(2, - \frac{112}{3})$

Passaggio 4.5

Sostituisci $- 6$ in $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot {(- 6)}^{6} + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $6$ .

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot 46656 + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

Passaggio 4.5.2.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.2.1

Scomponi $6$ da $46656$ .

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot (6 (7776)) + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

Passaggio 4.5.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 6) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 7776) + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

Passaggio 4.5.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 6) = 7776 + {(- 6)}^{5} - 5 {(- 6)}^{4}$

Passaggio 4.5.2.1.3

Eleva $- 6$ alla potenza di $5$ .

$f (- 6) = 7776 - 7776 - 5 {(- 6)}^{4}$

Passaggio 4.5.2.1.4

Eleva $- 6$ alla potenza di $4$ .

$f (- 6) = 7776 - 7776 - 5 \cdot 1296$

Passaggio 4.5.2.1.5

Moltiplica $- 5$ per $1296$ .

$f (- 6) = 7776 - 7776 - 6480$

Passaggio 4.5.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.2.1

Sottrai $7776$ da $7776$ .

$f (- 6) = 0 - 6480$

Passaggio 4.5.2.2.2

Sottrai $6480$ da $0$ .

$f (- 6) = - 6480$

Passaggio 4.5.2.3

La risposta finale è $- 6480$ .

$- 6480$

Passaggio 4.6

Il punto trovato sostituendo $- 6$ in $f (x) = \frac{1}{6} x^{6} + x^{5} - 5 x^{4}$ è $(- 6, - 6480)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 6, - 6480)$

Passaggio 4.7

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (2, - \frac{112}{3}), (- 6, - 6480)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 6)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6.1$ nell'espressione.

$f'' (- 6.1) = 5 {(- 6.1)}^{4} + 20 {(- 6.1)}^{3} - 60 {(- 6.1)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 6.1$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 6.1) = 5 \cdot 1384.5841 + 20 {(- 6.1)}^{3} - 60 {(- 6.1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $5$ per $1384.5841$ .

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 + 20 {(- 6.1)}^{3} - 60 {(- 6.1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 6.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 + 20 \cdot - 226.981 - 60 {(- 6.1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $20$ per $- 226.981$ .

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 - 4539.62 - 60 {(- 6.1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5

Eleva $- 6.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 - 4539.62 - 60 \cdot 37.21$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica $- 60$ per $37.21$ .

$f'' (- 6.1) = 6922.9205 - 4539.62 - 2232.6$

Passaggio 6.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $4539.62$ da $6922.9205$ .

$f'' (- 6.1) = 2383.3005 - 2232.6$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $2232.6$ da $2383.3005$ .

$f'' (- 6.1) = 150.7005$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $150.7005$ .

$150.7005$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 6.1$ , la derivata seconda è $150.7005$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 6)$ .

Crescente su $(- \infty, - 6)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 6, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f'' (- 3) = 5 {(- 3)}^{4} + 20 {(- 3)}^{3} - 60 {(- 3)}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 3) = 5 \cdot 81 + 20 {(- 3)}^{3} - 60 {(- 3)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $5$ per $81$ .

$f'' (- 3) = 405 + 20 {(- 3)}^{3} - 60 {(- 3)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 3) = 405 + 20 \cdot - 27 - 60 {(- 3)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $20$ per $- 27$ .

$f'' (- 3) = 405 - 540 - 60 {(- 3)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.5

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 3) = 405 - 540 - 60 \cdot 9$

Passaggio 7.2.1.6

Moltiplica $- 60$ per $9$ .

$f'' (- 3) = 405 - 540 - 540$

Passaggio 7.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $540$ da $405$ .

$f'' (- 3) = - 135 - 540$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $540$ da $- 135$ .

$f'' (- 3) = - 675$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 675$ .

$- 675$

Passaggio 7.3

Per $- 3$ , la derivata seconda è $- 675$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 6, 0)$ .

Decrescente su $(- 6, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f'' (1) = 5 {(1)}^{4} + 20 {(1)}^{3} - 60 {(1)}^{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (1) = 5 \cdot 1 + 20 {(1)}^{3} - 60 {(1)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f'' (1) = 5 + 20 {(1)}^{3} - 60 {(1)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (1) = 5 + 20 \cdot 1 - 60 {(1)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $20$ per $1$ .

$f'' (1) = 5 + 20 - 60 {(1)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (1) = 5 + 20 - 60 \cdot 1$

Passaggio 8.2.1.6

Moltiplica $- 60$ per $1$ .

$f'' (1) = 5 + 20 - 60$

Passaggio 8.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Somma $5$ e $20$ .

$f'' (1) = 25 - 60$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $60$ da $25$ .

$f'' (1) = - 35$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 35$ .

$- 35$

Passaggio 8.3

Per $1$ , la derivata seconda è $- 35$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0, 2)$ .

Decrescente su $(0, 2)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.1$ nell'espressione.

$f'' (2.1) = 5 {(2.1)}^{4} + 20 {(2.1)}^{3} - 60 {(2.1)}^{2}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Eleva $2.1$ alla potenza di $4$ .

$f'' (2.1) = 5 \cdot 19.4481 + 20 {(2.1)}^{3} - 60 {(2.1)}^{2}$

Passaggio 9.2.1.2

Moltiplica $5$ per $19.4481$ .

$f'' (2.1) = 97.2405 + 20 {(2.1)}^{3} - 60 {(2.1)}^{2}$

Passaggio 9.2.1.3

Eleva $2.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (2.1) = 97.2405 + 20 \cdot 9.261 - 60 {(2.1)}^{2}$

Passaggio 9.2.1.4

Moltiplica $20$ per $9.261$ .

$f'' (2.1) = 97.2405 + 185.22 - 60 {(2.1)}^{2}$

Passaggio 9.2.1.5

Eleva $2.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2.1) = 97.2405 + 185.22 - 60 \cdot 4.41$

Passaggio 9.2.1.6

Moltiplica $- 60$ per $4.41$ .

$f'' (2.1) = 97.2405 + 185.22 - 264.6$

Passaggio 9.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Somma $97.2405$ e $185.22$ .

$f'' (2.1) = 282.4605 - 264.6$

Passaggio 9.2.2.2

Sottrai $264.6$ da $282.4605$ .

$f'' (2.1) = 17.8605$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $17.8605$ .

$17.8605$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $2.1$ , la derivata seconda è $17.8605$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(2, \infty)$ .

Crescente su $(2, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 10

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 6, - 6480), (2, - \frac{112}{3})$ .

$(- 6, - 6480), (2, - \frac{112}{3})$

Passaggio 11