Calcolo Esempi

$\frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x + x^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{x + x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Passaggio 6

Sposta $x^{\frac{1}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} + 1) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Passaggio 7

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 7.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Passaggio 7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (x + x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int x \cdot x^{- \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 8.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{1} x^{- \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 8.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{1 - \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 8.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 8.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int x^{\frac{3 - 1}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 8.7

Sottrai $1$ da $3$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 8.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 8.9

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 8.10

Per scrivere $- \frac{1}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 8.11

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 8.11.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 8.11.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 8.11.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 8.11.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{6} - \frac{2}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 8.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3 - 2}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 8.13

Sottrai $2$ da $3$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 8.14

Moltiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ per $1$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{6}} + x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int x^{\frac{1}{6}} d x + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int x^{\frac{1}{6}} d x + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{6}}$ rispetto a $x$ è $\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 12

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 13

Semplifica.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$