Calcolo Esempi

$\int_{e}^{4} \frac{1}{x \ln (x)} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

Passaggio 1.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (4)$

Passaggio 1.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \ln (4)$

Passaggio 1.6

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{\ln (4)} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{\ln (4)}$

Passaggio 3

Calcola $\ln (| u |)$ per $\ln (4)$ e per $1$ .

$\ln (| \ln (4) |) - \ln (| 1 |)$

Passaggio 4

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \ln (4) |}{| 1 |})$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\ln (4)$ corrisponde approssimativamente a $1.38629436$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\ln (\frac{\ln (4)}{| 1 |})$

Passaggio 5.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\ln (\frac{\ln (4)}{1})$

Passaggio 5.3

Dividi $\ln (4)$ per $1$ .

$\ln (\ln (4))$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (\ln (4))$

Forma decimale:

$0.32663425 \dots$