Calcolo Esempi

$\int \frac{2}{\sqrt[3]{3 x}} d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{3 x}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 3 x$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 3} d u$

Passaggio 3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $\sqrt[3]{u}$ .

$2 \int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Passaggio 5

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 5.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u}$ come $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Passaggio 5.2.2

Sposta $u^{\frac{1}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.2.3.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Passaggio 5.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $\frac{2}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ come $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6}{3 \cdot 2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 7.2.4

Elimina il fattore comune di $6$ .

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Passaggio 7.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6}{6} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 7.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 7.2.5

Moltiplica $u^{\frac{2}{3}}$ per $1$ .

$u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

${(3 x)}^{\frac{2}{3}} + C$