Calcolo Esempi

$\sqrt{1 - x}$

Passaggio 1

Scrivi $\sqrt{1 - x}$ come funzione.

$f (x) = \sqrt{1 - x}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sqrt{1 - x} d x$

Passaggio 4

Sia $u = 1 - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = 1 - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

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Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - 1$

Passaggio 4.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - \sqrt{u} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 8

Riscrivi $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ come $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x$ .

$- \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 10

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sqrt{1 - x}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + C$