Calcolo Esempi

$y = \cos (x + \frac{π}{4})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x + \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + \frac{π}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + \frac{π}{4}$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \frac{π}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $\frac{π}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{π}{4}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \sin (x + \frac{π}{4})$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x + \frac{π}{4})$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x + \frac{π}{4})]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (x + \frac{π}{4})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x + \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + \frac{π}{4}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - (\cos (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + \frac{π}{4}$ .

$f'' (x) = - (\cos (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{4}))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \frac{π}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$f'' (x) = - \cos (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{4}))$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \cos (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{4}))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{π}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{π}{4}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Passaggio 2.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \cos (x + \frac{π}{4})$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ .

$\frac{- \sin (x + \frac{π}{4})}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sin (x + \frac{π}{4})}{1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.2.2

Dividi $\sin (x + \frac{π}{4})$ per $1$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$\sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (0)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x + \frac{π}{4} = 0$

Passaggio 7

Sottrai $\frac{π}{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 8

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x + \frac{π}{4} = π - 0$

Passaggio 9

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$x + \frac{π}{4} = π$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai $\frac{π}{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = π - \frac{π}{4}$

Passaggio 9.2.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 9.2.3

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 9.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 9.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.5.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 9.2.5.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 10

La soluzione dell'equazione $x + \frac{π}{4} = 0$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \cos ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \cos (\frac{- π + π}{4})$

Passaggio 12.2

Somma $- π$ e $π$ .

$- \cos (\frac{0}{4})$

Passaggio 12.3

Dividi $0$ per $4$ .

$- \cos (0)$

Passaggio 12.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 12.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 13

$x = - \frac{π}{4}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{π}{4}$ è un massimo locale

Passaggio 14

Trova il valore di y quando $x = - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{π}{4}$ nell'espressione.

$f (- \frac{π}{4}) = \cos ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

Passaggio 14.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{π}{4}) = \cos (\frac{- π + π}{4})$

Passaggio 14.2.2

Somma $- π$ e $π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \cos (\frac{0}{4})$

Passaggio 14.2.3

Dividi $0$ per $4$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \cos (0)$

Passaggio 14.2.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 1$

Passaggio 14.2.5

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3 π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \cos (\frac{3 π + π}{4})$

Passaggio 16.2

Somma $3 π$ e $π$ .

$- \cos (\frac{4 π}{4})$

Passaggio 16.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \cos (\frac{4 π}{4})$

Passaggio 16.3.2

Dividi $π$ per $1$ .

$- \cos (π)$

Passaggio 16.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- - \cos (0)$

Passaggio 16.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 16.6

Moltiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- - 1$

Passaggio 16.6.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1$

Passaggio 17

$x = \frac{3 π}{4}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3 π}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 18

Trova il valore di y quando $x = \frac{3 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Passaggio 18.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos (\frac{3 π + π}{4})$

Passaggio 18.2.2

Somma $3 π$ e $π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos (\frac{4 π}{4})$

Passaggio 18.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos (\frac{4 π}{4})$

Passaggio 18.2.3.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \cos (π)$

Passaggio 18.2.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \cos (0)$

Passaggio 18.2.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 18.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1$

Passaggio 18.2.7

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 19

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \cos (x + \frac{π}{4})$ .

$(- \frac{π}{4}, 1)$ è un massimo locale

$(\frac{3 π}{4}, - 1)$ è un minimo locale

Passaggio 20